Я САМЯ сам решу
ОлимпиадаМатематикаЗадание 4Олимпиадный

Задание №175394: Задание 4

Условие

4. Целые числа x, y, z, t таковы, что x+y+z+t = 0. Сколько различных натуральных значений, не превосходящих 10000, может принимать число (xy–zt)(xz–yt)(yz–xt)?

📎 Disttur2_24_.pdf

Что проверяет это задание

Задание относится к теме «Задание 4» и рассчитано на уровень 8 класса. Для решения понадобятся:

  • анализ условия
  • выбор формулы
  • проверка вычислений

Источник: Олимпиада имени Леонарда Эйлера — официальный архив

Качество материала

Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.

Условиеполное
Первоисточникуказан
Подробное решениеопубликовано
Проверка дублейосновная версия

Последняя проверка решения:

Происхождение задания

Банк заданий
Олимпиада имени Леонарда Эйлера — официальный архив
Организатор
Редакция «Я сам решу»
Материалы
1 файл
Открыть официальный архив ↗

Связанные понятия

МатематикаЗадание 4Задание 4 · тип 4анализ условиявыбор формулы

План самостоятельного решения

  1. Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
  2. Свяжите условие с темой «Задание 4» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
  3. Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
  4. Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.

Ориентировочное время: 15 минут.

Закрепить тему

После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.

Собрать тренировочный вариант → Все задания по теме

Подробный разбор

Решение по шагам

ООфициальный разбор · ВсОШПроверено

4. Целые числа x, y, z, t таковы, что x+y+z+t = 0. Сколько различных натуральных значений, не
превосходящих 10000, может принимать число (xy–zt)(xz–yt)(yz–xt)? (Л. Самойлов, С. Берлов)
Ответ. 50. Решение. Заметим, что xy–zt = x(–x–z–t)–zt = –(x2+xz)–(xt+zt) = –(x+z)(x+t). Аналогично
доказывается, что xz–yt = –(x+z)(x+t) и yz–xt = –(y+x)(y+t) = (x+y)(x+z). Перемножая, получаем, что
(xy–zt)(xz–yt)(yz–xt) = (x+y)2(x+z)2(x+t)2

Таким образом, все искомые натуральные значения — это квадраты натуральных чисел от 1 до 10000 100 .
Заметим, что среди чисел x+y, x+z, x+t есть четное, так как иначе число x имеет одну четность, а три других
числа — другую, и сумма x+y+z+t вопреки условию задачи нечетна. Поэтому нам подходят только квадраты
четных чисел. При этом любой четный квадрат подходит: у уравнения 2n = (x+y)(x+z)(x+t) при любом целом
n есть целочисленное решение x =n+1, y = n–1, z = t = –n.

Используемые формулы

  • Целые числа x, y, z, t таковы, что x+y+z+t = 0.
  • Заметим, что xy–zt = x(–x–z–t)–zt = –(x2+xz)–(xt+zt) = –(x+z)(x+t).
  • доказывается, что xz–yt = –(x+z)(x+t) и yz–xt = –(y+x)(y+t) = (x+y)(x+z).
  • (xy–zt)(xz–yt)(yz–xt) = (x+y)2(x+z)2(x+t)2
  • При этом любой четный квадрат подходит: у уравнения 2n = (x+y)(x+z)(x+t) при любом целом
  • n есть целочисленное решение x =n+1, y = n–1, z = t = –n.

Самопроверка после решения

  • Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
  • Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
  • Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
  • Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.

Типичные ошибки

  • Не проверить область допустимых значений.
  • Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
  • Не выполнить обратную подстановку.
Сложность: ОлимпиадныйРешение проверено: