Задание №175262: Задание 4

4. В каждой клетке таблицы 4 × 2025 стоит натуральное число. При этом все числа различны, но
суммы во всех строках одинаковы и во всех столбцах тоже одинаковы. Какова минимально

возможная сумма чисел в таблице? ( А. А. Теслер)
Ответ: 4 · 2025 · 4051 = 32813100.
4 · 2025 + 1
Решение. Числа от 1 до 4 · 2025 взять нельзя, потому что их сумма равна 4 · 2025 · ,
2
что не делится на 4·2025. Ближайшая бо´льшая сумма, делящаяся на 4·2025, — это 4·2025·4051,
и её можно получить из чисел от 1 до 4 · 2025 + 1, кроме числа 2 · 2025 + 1 = 4051.
Для построения примера рассмотрим таблицу, показанную ниже. В ней среднее арифметиче-
ское чисел в каждой строке и в каждом столбце равно 0. Если к каждому числу прибавить 4051,
то числа попадут в нужный диапазон, а среднее в каждом столбце и в каждой строке станет
равно 4051, что обеспечивает равенство сумм в строках и равенство сумм в столбцах.
+2 −5 +3 +7 −7 +11 −11 ... +(4𝑘 + 3) −(4𝑘 + 3) ... +4047 −4047
−1 +4 −3 −8 +8 −12 +12 −(4𝑘 + 4) +(4𝑘 + 4) −4048 +4048
+1 +5 −6 −9 +9 −13 +13 −(4𝑘 + 5) +(4𝑘 + 5) −4049 +4049

−2 −4 +6 +10 −10 +14 −14 +(4𝑘 + 6) −(4𝑘 + 6) +4050 −4050
Критерии. 5 баллов за пример и 2 балла за доказательство, что меньше не получится.