Задание №175248: Задание 4
4. Какому нечётному числу может быть равен НОД чисел 2025𝑛+1 и 5202𝑛+1, где𝑛 — натуральное число? Укажите все возможности и докажите, что других нет. (С. П. Павлов)
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Задание 4» и рассчитано на уровень 9 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада «Формула Единства» — официальный архив · 2025
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада «Формула Единства» — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2025
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Задание 4» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
4. Какому нечётному числу может быть равен НОД чисел 2025𝑛+1 и 5202𝑛+1, где𝑛 — натуральное
число? Укажите все возможности и докажите, что других нет. ( С. П. Павлов)
Ответ: 1 или 353.
Решение. Пусть𝑑 — общий делитель чисел 2025𝑛+1 и 5202𝑛+1. Тогда𝑑 является и делителем
числа 5202𝑛 +1− (2025𝑛 +1) = 3177𝑛 = 9 · 353 ·𝑛. Так как оба выражения 2025𝑛 +1 и 5202𝑛 +1 не
кратны 3 и взаимно просты с 𝑛, то искомым общим делителем может быть только делитель
числа 353, то есть 1 или 353 (оно простое).
Заметим, что ответ 353 возможен, например, при 𝑛 = 186. (Можно вместо поиска конкретного
значения 𝑛 сослаться на следующий факт: поскольку 353 и 2025 взаимно просты, то остатки
от деления 2025𝑛 на 353 принимают все возможные значения, в том числе и 352 при неком
значении 𝑛. А если 2025𝑛 + 1 кратно 353, то и 5202𝑛 + 1 тоже, поскольку их разность кратна
353.)
Критерии. Только ответ 𝑛 = 1 — 0 баллов.
Если найдено, что НОД теоретически НОД может равняться 353, но не доказано, что такое 𝑛 существу-
ет — 5 баллов.
Используемые формулы
числа 5202𝑛 +1− (2025𝑛 +1) = 3177𝑛 = 9 · 353 ·𝑛.Заметим, что ответ 353 возможен, например, при 𝑛 = 186.Только ответ 𝑛 = 1 — 0 баллов.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.