Задание №172544: Задание 4

4
Значит, 𝑦 = −3𝑥 или 𝑦 = 𝑥 − 4. Далее возможны четыре случая:
{︃ {︃
𝑦 = −𝑥, 𝑥 = 0,
а) ⇔ Точка (0;0) не удовлетворяет ОДЗ.
𝑦 = −3𝑥 𝑦 = 0.
{︃ {︃
𝑦 = −𝑥, 𝑥 = 2,
б) ⇔
𝑦 = 𝑥 − 4 𝑦 = −2.
⎡ {︃
𝑥 = 0,
{︃
𝑦 = −𝑥2, ⎢ ⎢ 𝑦 = 0,
в) ⇔ ⎢{︃ Точка (0;0) не удовлетворяет ОДЗ.
𝑦 = −3𝑥 ⎢ 𝑥 = 3,
⎣
𝑦 = −9.
⎡{︃ √
𝑥 = −1+ 17,
2√
{︃ {︃ {︃
𝑦 = −𝑥2, 𝑦 = 𝑥 − 4, 𝑦 = 𝑥 − 4, ⎢ ⎢ 𝑦 = −9+ 2 17,
г) ⇔ ⇔ √ ⇔ ⎢{︃ √
𝑦 = 𝑥 − 4 𝑥2 + 𝑥 − 4 = 0 𝑥 = −1± 17 ⎢ 𝑥 = −1− 17,
2 ⎣ 2√
𝑦 = −9− 17.
2
(︁ √ √ )︁
Точка −1− 17; −9− 17 не удовлетворяет ОДЗ.
2 2
(︁√ √ )︁
Объединяя результаты, получаем итоговый ответ: (2;−2), (3;−9), 17−1; 17−9 .
2 2
4. [5 баллов] Сфера с центром 𝑂 вписана в трёхгранный угол с вершиной 𝑆 и касается его граней
в точках 𝐾, 𝐿, 𝑀 (все плоские углы трёхгранного угла различны). Найдите угол 𝐾𝑆𝑂 и
площадь сечения данного трёхгранного угла плоскостью 𝐾𝐿𝑀, если известно, что площади
сечений трёхгранного угла плоскостями, касающимися сферы и перпендикулярными прямой
𝑆𝑂, равны 9 и 16.
Ответ: ∠𝐾𝑆𝑂 = arcsin 1; 𝑆 = 576.
7 49
Решение. Обозначим точки пересечения прямой 𝑆𝑂 со сферой через 𝑃 и 𝑄 (точка 𝑃 лежит
на отрезке 𝑆𝑂, а 𝑄 – вне него). Пусть радиус сферы равен 𝑟. Треугольники 𝑂𝐾𝑆, 𝑂𝐿𝑆 и 𝑂𝑀𝑆
прямоугольные (углы при вершинах 𝐾, 𝐿, 𝑀 прямые, так как касательные перпендикулярны
радиусам, проведённым в точку касания). Эти треугольники равны по катету и гипотенузе
(𝑂𝐾 = 𝑂𝐿 = 𝑂𝑀 = 𝑅, 𝑆𝑂 – общая), следовательно, ∠𝐾𝑆𝑂 = ∠𝐿𝑆𝑂 = ∠𝑀𝑆𝑂 (пусть
∠𝐾𝑆𝑂 = 𝛼, 𝑆𝑂 = 𝑥). Высоты, опущенные из точек 𝐾, 𝐿, 𝑀 на гипотенузу 𝑆𝑂, равны, а их
основания – одна и та же точка 𝐻, лежащая в плоскости 𝐾𝐿𝑀 (назовём эту плоскость 𝜏).
Пусть 𝛽 и 𝛾 касательные плоскости к сфере, проходящие через точки 𝑃 и 𝑄, а 𝐸 и 𝐹 – точки
пересечения этих плоскостей с прямой 𝑆𝐾. По условию площади сечений трёхгранного угла
этими плоскостями равны соответственно 𝑆 = 9 и 𝑆 = 16. Рассмотрим сечение трехгранного
1 2
угла и сферы плоскостью 𝑆𝐾𝑂 (см. рис. и обозначения на нем). Так как 𝑆𝐻 ⊥ 𝐻𝐾 и 𝑆𝐻 ⊥ 𝐻𝐿,
то 𝜏 ⊥ 𝑆𝐻. Тогда сечения трёхгранного угла плоскостями 𝜏, 𝛽 и 𝛾 – подобные треугольники,
плоскости которых параллельны (все они перпендикулярны 𝑆𝑂).
Если Σ – площадь треугольника, получающегося в сечении трёхгранного угла плоскостью
√ √
𝐾𝐿𝑀, то из подобия Σ : 𝑆 : 𝑆 = 𝐾𝐻2 : 𝐸𝑃2 : 𝐹𝑄2. Следовательно, 𝐸𝑃 : 𝐹𝑄 = 𝑆 : 𝑆 .
√ √ 1 2 √ √ √ √1 2
Тогда 𝑆 : 𝑆 = 𝑆𝑃 : 𝑆𝑄 = (𝑥 − 𝑟) : (𝑥 + 𝑟), откуда 𝑟 = 𝑥√ 𝑆2− √ 𝑆1, а sin𝛼 = 𝑟 = √ 𝑆2− √ 𝑆1 = 1.
1 2 𝑆2+ 𝑆1 𝑥 𝑆2+ 𝑆1 7
Отсюда ∠𝐾𝑆𝑂 = arcsin 1.
7
20 ○c МФТИ, 2020

“Физтех–2020”, математика, решения 11 класс


SS






EE PP


KK
HH


OO


r



FF QQ


Рис. 10: вариант 8, задача 4

Далее, 𝑂𝐻 = 𝑟 sin𝛼, 𝑆𝐻 = 𝑆𝑂 − 𝑂𝐻 = 𝑟 − 𝑟 sin𝛼, 𝑆𝑃 = 𝑆𝑂 − 𝑟 = 𝑟 − 𝑟. Значит,
sin𝛼 sin𝛼
Σ : 𝑆 = 𝐾𝐻2 : 𝐸𝑃2 = 𝑆𝐻2 : 𝑆𝑃2 =
(︀
1 − sin𝛼
)︀2
:
(︀
1 − 1
)︀2
= (1 + sin𝛼)2 = 64, откуда