Задание №175372: Задание 3
3. Числа x, y, z таковы, что x > y +z , y > z +x , z > x +y . Докажите, что
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Задание 3» и рассчитано на уровень 8 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада имени Леонарда Эйлера — официальный архив
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада имени Леонарда Эйлера — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Задание 3» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
3. Числа x, y, z таковы, что x > y2+z2, y > z2+x2, z > x2+y2. Докажите, что каждое из чисел x, y, z
меньше 1/2. (Н. Агаханов, А. Храбров)
Первое решение. Так как совокупность данных в условии неравенств сохраняется при перестановках
переменных, можно считать, что x y z. Тогда y z > x2+y2, откуда 1/4 > x2+(y–1/2)2 и 1/2 > x y z,
что и требовалось доказать. Второе решение. Заметим, что y+z > (z2+x2)+(x2+y2). Поэтому 2x2 < (y–
y2)+(z–z2) = 1/4–(1/2–y)2+1/4–(1/2–z)2 < 1/2. Тогда x2 < 1/4, откуда x < 1/2. Аналогично, y < 1/2 и z < 1/2.
Используемые формулы
y2)+(z–z2) = 1/4–(1/2–y)2+1/4–(1/2–z)2 < 1/2.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.