Задание №166162: Задание 3
Задание 3. Вариант 4. Петя переписал в тетрадь два двузначных числа с доски и перемножил их. Он сделал ошибку в одном из чисел: написал десятки на месте единиц, а единицы на месте десятков, поэтому результат оказался на 1071 больше, чем должен был быть. Какие числа были записаны на доске? Укажите все подходящие варианты. Для каждой возможной пары чисел в качестве ответа запишите их сумму.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Задание 3» и рассчитано на уровень 10 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: ВсОШ в Москве — официальный архив · 2025
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- ВсОШ в Москве — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2025
- Материалы
- 2 файла
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Задание 3» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Задание 3. Вариант 1. Петя переписал в тетрадь два двузначных числа с доски и перемножил их. Он сделал
ошибку в одном из чисел: написал десятки на месте единиц, а единицы на месте десятков, поэтому результат оказался
на 1449 больше, чем должен был быть. Какие числа были записаны на доске?
Укажите все подходящие варианты. Для каждой возможной пары чисел в качестве ответа запишите их сумму.
Ответ:
✓ 41
✓ 52
Решение.
Пусть исходные двузначные числа имеют вид 𝑎𝑏 и 𝑐𝑑. Тогда из условия следует, что
𝑎𝑏 · 𝑐𝑑 + 1449 = 𝑎𝑏 · 𝑑𝑐.
Перепишем последнее равенство в виде
𝑎𝑏(𝑑𝑐 − 𝑐𝑑) = 1449. ⇔ 𝑎𝑏 · 9(𝑑 − 𝑐) = 1449 ⇔ 𝑎𝑏 · (𝑑 − 𝑐) = 161 = 23 · 7.
Так как 23 — простое число, 𝑎, 𝑑, 𝑐 — цифры, последнее равенство возможно, только если 𝑑 − 𝑐 = 7 и 𝑎𝑏 = 23.
Так как 𝑑, 𝑐 — цифры и 𝑐 ≠ 0, либо 𝑑 = 8, 𝑐 = 1, либо 𝑑 = 9, 𝑐 = 2.
Получаем две пары чисел 𝑎𝑏 и 𝑐𝑑: (23, 18) и (23, 29). Проверкой убеждаемся, что они подходят. Суммы чисел
в парах равны 41 и 52 соответственно.
Используемые формулы
𝑎𝑏 · 𝑐𝑑 + 1449 = 𝑎𝑏 · 𝑑𝑐.𝑎𝑏(𝑑𝑐 − 𝑐𝑑) = 1449.⇔ 𝑎𝑏 · 9(𝑑 − 𝑐) = 1449 ⇔ 𝑎𝑏 · (𝑑 − 𝑐) = 161 = 23 · 7.Так как 23 — простое число, 𝑎, 𝑑, 𝑐 — цифры, последнее равенство возможно, только если 𝑑 − 𝑐 = 7 и 𝑎𝑏 = 23.Так как 𝑑, 𝑐 — цифры и 𝑐 ≠ 0, либо 𝑑 = 8, 𝑐 = 1, либо 𝑑 = 9, 𝑐 = 2.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.