Задание №177116: Турнир городов

2. [4] По кругу лежит 2n + 1 монета орлом вверх. Двигаясь по часовой стрелке, делают
2n + 1 переворот: переворачивают какую-то монету, одну монету пропускают и переворачивают
следующую, две монеты пропускают и переворачивают следующую, три монеты пропускают и

переворачивают следующую, и т.д., наконец пропускают 2n монет и переворачивают следующую.
Докажите, что теперь ровно одна монета лежит решкой вверх.
В. Расторгуев
Решение. Пусть (n – 1)-я перевёрнутая монета – X,
а n-я – Y. Тогда между X и Y по часовой стрелке
лежит n – 1 монет, а раз всего монет в круге 2n + 1, то
между Y и Х по часовой стрелке лежит n монет (см.
рисунок). Это значит, что (n + 1)-й мы снова перевернём
монету X.
И далее мы будем переворачивать уже
переворачивавшиеся монеты, но в обратном порядке:
ведь пропустить по часовой стрелке n + 1 монет – всё
равно, что пропустить против часовой стрелки n – 2
монет, ..., пропустить по часовой стрелке 2n – 2 монет – всё равно, что пропустить против часовой
стрелки 1 монету. А на последних двух шагах мы перевернём одну и ту же монету.
В итоге решкой вверх будет лежать только монета Y – она переворачивалась нечётное число

раз, а все остальные монеты – чётное.