Задание №171041: Задание 2
Задача 2. Астроном Иван изучает звёзды с помощью своего нового телескопа. За время исследования он нашёл n ярких звёзд и n−1 тусклых и хочет их запомнить. У Ивана отличная зрительная память, поэтому он придумал следующий способ запоминания: для каждой яркой звезды он строит связи с n любыми другими звёздами, а для каждой тусклой звезды — с n + 1 любыми другими звёздами. Докажите, что у Ивана не получится таким способом запомнить все звёзды.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Задание 2» и рассчитано на уровень 7 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада «Курчатов» — официальный архив
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада «Курчатов» — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Задание 2» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Иван пытается построить граф, в котором звезды являются вершинами,
а связи между ними - ребрами. Посчитаем сумму степеней вершин в
таком графе:
n2 + (n − 1)(n + 1) = 2n2 − 1
Заметим, что 2n2 − 1 - нечетное число. Вспомним, что сумма степеней
вершин в графе четна, так как каждое ребро, соединяя две вершины,
учитывается дважды. Значит Ивану не удастся построить такой граф и
запомнить все звезды.
Любое полное решение оценивается в 7 баллов. В отсутствие полного
решения используются следующие критерии:
Используемые формулы
n2 + (n − 1)(n + 1) = 2n2 − 1
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.