Задание №180394: Устная олимпиада 2021
1. ДРОБИ. Петя записал четыре дроби, сумма которых равна 1. У каждой из них числитель 1, а знаменатель — натуральное число. То же самое сделал и Вася. Могут ли все восемь дробей оказаться попарно различными?
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Устная олимпиада 2021» и рассчитано на уровень 7 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Устные математические олимпиады МЦНМО — официальный архив · 2021
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Устные математические олимпиады МЦНМО — официальный архив
- Организатор
- МЦНМО
- Год материала
- 2021
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Устная олимпиада 2021» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
1. Дроби. Петя записал четыре дроби, сумма которых равна 1. У каждой из них
числитель 1, а знаменатель – натуральное число. То же самое сделал и Вася. Могут ли
все восемь дробей оказаться попарно различными?
Фольклор
Ответ: не могут.
Решение. Предположим, что все восемь дробей оказались попарно различными.
Заметим, что среди них не может быть дроби со знаменателем 1, иначе
соответствующая сумма была бы больше чем 1. Далее можно рассуждать по-разному.
Первый способ. Знаменатель 2 мог использовать только один из мальчиков, поэтому
у другого – наименьший знаменатель не меньше чем 3. Тогда остальные его
знаменатели не меньше чем 4, 5 и 6 соответственно, поэтому сумма его дробей не
1 1 1 1
больше чем + + + < 1. Противоречие.
3 4 5 6
Второй способ. Если сложить все дроби, записанные мальчиками, то получится не
1 1 1 1 1 1 1 1
больше чем + + + + + + + < 2. Однако эта сумма должна быть равна 2.
2 3 4 5 6 7 8 9
Противоречие.
Дроби с числителем 1 и натуральными знаменателями называются
аликвотными.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.