Задание №178266: Турнир Ломоносова 2011

Задача 9. Приведём схему построения требуемой в задаче конструк
ции. Пунктирными линиями нарисованы равносторонние треугольники,
точечными линиями — биссектрисы этих треугольников. Все длины
сторон равносторонних треугольников равны, основания этих треуголь
ников параллельны друг другу. Треугольные призмы выделены серым
цветом.








В качестве примера на рисунке жирной линией показан также один
из лучей, проходящих через систему. Все отрезки этого луча между
последовательными отражениями от зеркальных поверхностей призм
составляют с этими зеркальными поверхностями углы 30 ◦. Видно, что
участки луча до и после прохождения системы зеркальных призм лежат
на одной прямой, то есть система призм как бы не оказывает на это луч
никакого влияния. То же самое произойдёт и со всеми другими лучами,
имеющими то же направление.
Итак, в качестве ответа можно принять α = 30 ◦ (угол, образован
ный стороной и биссектрисой равностороннего треугольника). Значение
b можно выбрать произвольным, например, b = 1 см (сторона равносто
ронних треугольников). Высота равностороннего треугольника с дли
ной стороны b по теореме Пифагора равна
(cid:115) (cid:18) b (cid:19)2 (cid:114) b2 (cid:114) 1 (cid:114) 3 √3
h = b2 = b2 = b 1 = b = b .
− 2 − 4 − 4 4 2
Учитывая, что точка пересечения высот треугольника делит эти
высоты в отношении 2 : 1, для получения значения a к высоте треуголь
ника h нужно добавить ещё h/3, то есть
1 4 4 √3 2
a = h + h = h = b = b.
3 3 3 · 2 √3
Ответ. Пример значений: a = (2/√3) см, b = 1 см, α = 30 ◦.

53

Комментарий. Задача была сформулирована для геометрического
«пучка световых лучей». В геометрической оптике не ставится вопрос
о скорости распространения лучей, лучи — всего лишь линии. И в этом
(геометрическом) смысле никакого искажения пучка параллельных
лучей действительно не происходит: после прохождения через систему
призм все лучи «возвращаются на своё место».
Однако, длина разных лучей, проходящих через рассмотренную
систему призм, оказывается различной. Поэтому вместо параллельного
пучка лучей нельзя рассматривать плоский волновой фронт — этот
волновой фронт в нашей системе подвергнется искажениям.
Ознакомиться с дополнительной информацией об описанной в
задаче оптической системе можно на сайте «Математические этюды» в
разделе «Невидимка» (http://www.etudes.ru/ru/mov/mov053). В част
ности, там вы можете прочитать об оптических свойствах таких систем,
об их необычных гидродинамических свойствах (силах сопротивления
при движении в жидкости или газе), а также просмотреть короткий
видеофильм, иллюстрирующий и объясняющий эти свойства.
Дополнение. В задании требовалось привести только конкретный
пример значений a, b и α, удовлетворяющих условию задачи. Выясним
(в задании это не требовалось), при каких соотношениях между a, b и
α реализуется описанная в задаче ситуации «невидимого» объекта.
Изобразим на рисунке ход луча и отметим углы. Углы с величи
ной α отмечены исходя из условия задачи, соотношения «угол падения
равен углу отражения» и соотношения равенства внутренних накрес
тлежащих углов, образованных секущей с параллельными прямыми.
α α C α α
α
α
Dα
2α F
α B α
α
α α α α α
A E
Заметим, что α < 45 ◦ — иначе горизонтальные лучи, отразившиеся
от отрезка AB, образуют со своим первоначальным направлением угол
(cid:54) 90 ◦ и не попадут на отрезок CD.

54

Заметим, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом,
так как его стороны — отрезки AB и CD — равны и параллельны по
условию (являются боковыми сторонами равных равнобедренных тре
угольников с параллельными основаниями).
Все горизонтальные параллельные лучи после отражения от отрезка
AB, очевидно, останутся параллельными (на рисунке показан один из
таких лучей). Также эти лучи (после отражения) должны быть парал
лельны сторонам AD и BC параллелограмма ABCD (иначе какие-то из
этих лучей пересекут эти отрезки, выйдут за пределы параллелограмма
ABCD и не попадут на отрезок DC — тем самым их дальнейшая траек
тория не будет соответствовать условию задачи). Так как отрезки AD
и BC параллельны лучам, отразившимся от отрезка AB, они образуют
с отрезками AB и ВС такие же углы, что и лучи.
По условию CE = a и AE = a; очевидно, что BF = AE/2 = a/2.
Пользуясь рисунком, выразим длину отрезка CF двумя способами:
b
CF = BF tg2α = tg2α
2
b
CF = CE EF = a EF = a BF tgα = a tgα
− − − − 2
Отсюда
b b b
a tgα = tg2α; a = (tgα + tg2α)
− 2 2 2
Окончательно получаем
a tgα + tg2α
= при условии 0 < α < 45 ◦
b 2
При таких соотношениях между a, b и α условия задачи будут
выполнены (представленная оптическая система будет «невидимкой»
для параллельного пучка световых лучей в указанном направлении).
Интуитивно можно предположить, что для всех остальных комбина
ций a, b и α (удовлетворяющих условию задачи), для которых эти соот
ношения не выполняются, «невидимка» не получится. Но это только
предположение.