Задание №178264: Турнир Ломоносова 2011

Задача 7. Введём обозначения для параметров планеты, которые
отсутствуют в условии, понадобятся при решении и не войдут в окон
чательный ответ:
ρ — плотность вещества планеты;
R — радиус планеты;
4
V = πR3 — объём планеты;
3
4
M = V ρ = πR3ρ — масса планеты.
3
Пусть G — гравитационная постоянная10.
Через обозначенные параметры в соответствии с законом всемирного
тяготения легко выразить ускорение свободного падения g на поверхно
сти планеты:
M 4 1 4
g = G = G πR3ρ = πRρG
R2 3 · R2 3
Выразим через эти же параметры давление p в центре планеты.
4
Пусть M(r) = πR3ρ — масса вещества планеты, находящегося на рас
3
стоянии от центра не более r (где r (cid:54) R). Тогда ускорение свободного
падения внутри планеты на расстоянии r от её центра равно
M(r) 4 1 4
g(r) = G = G πr3ρ = πrρG
r2 3 · r2 3
(вещество планеты, находящееся на расстоянии от центра больше r,
представляет собой симметричную сферическую оболочку, которая не
создаёт никаких сил тяготения внутри себя, то есть в области простран
ства, ограниченной сферой радиуса r с центром в центре планеты).




м3
10Для справки: G ≈ 6,67·10−11
с−2 ·кг−1
50

Как известно, давление столба жидкости (плотности ρ) высотой h
равно p = ρgh, где ускорение свободного падения g не зависит от
высоты. Нам же нужно решить более сложную задачу: вычислить давле
4
ние столба жидкости высотой h = R в случае зависимости g(r) = πrρG.
3
Это и будет давление p в центре планеты.
Давление p в центре планеты фактически складывается из давлений
вышележащих слоёв на разных уровнях. Поэтому p можно вычислить
как площадь под графиком зависимости величины ρg от расстояния до
центра планеты r.
ρg(r)
4
ρg(R) = ρ · πRρG
3


0 R r
На графике соответствующая фигура (закрашена серым цветом)
4
представляет собой прямоугольный треугольник с катетами πRρ2G
3
и R, её площадь, численно равная давлению p в центре планеты, равна
(cid:18) (cid:19)2
1 4 1 4 1 3 1 4 3
p = R πRρ2G = πR2ρ2G = πRρG = g2.
2 · · 3 2 · 3 2 · 4 · πG · 3 8πG
3g2
Ответ. p = .
8πG
Комментарий. В реальных планетах любого размера существенно
изменяются и плотность, и температура, и состав и состояние вещества
в зависимости от расстояния до центра. Условие задачи соответствует
самой простой модели реальной планеты, не учитывающей ничего из
перечисленного.