Задание №171260: Электричество
7 Задача 5 Вдоль оси 𝑥 расположена неоднородная по составу проволока длины 𝐿: левый конец соответствует точке 𝑥 = 0, правый – точке 𝑥 = 𝐿. К концам проволоки приложено постоянное напряжение 𝑈. Радиус проволоки зависит 0 𝐿 от координаты по закону: 𝑟(𝑥) = 𝑟 √︀𝑥, а удельное сопротивление – по закону: 𝜌(𝑥) = 𝜌 𝐿 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿. Координату 0 𝐿 0 𝐿−𝑥 наиболее холодной точки проволоки в установившемся режиме можно представить в виде 𝑥 = 𝑘𝐿. Найдите число 𝑘. min
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Электричество» и рассчитано на уровень 9 класса. Для решения понадобятся:
- построение модели
- применение физических законов
- проверка единиц измерения
Источник: Олимпиада «Курчатов» — официальный архив
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада «Курчатов» — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Электричество» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Физика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Сила тока 𝐼 в установившемся режиме одинакова для любого сечения проводника. Для малого участка проводника
длины ∆𝑙 с центром в точке 𝑥 сопротивление
∆𝑙
𝑅(𝑥) = 𝜌(𝑥) , 𝑆(𝑥) = 𝜋𝑟2(𝑥).
𝑆(𝑥)
Выделяющаяся на участке мощность:
𝑃(𝑥) = 𝐼2𝑅(𝑥)
Тогда мощность, приходящуюся на единицу длины проволоки, можно представить как:
𝑃(𝑥) 𝜌(𝑥)
𝑝(𝑥) = = 𝐼2 .
∆𝑙 𝑆(𝑥)
Поскольку 𝐼 не зависит от 𝑥, минимум 𝑝(𝑥) достигается там же, где минимум функции
𝜌(𝑥)
𝑓(𝑥) = .
𝑆(𝑥)
Найдем явный вид 𝑓(𝑥). Площадь сечения:
𝑥
𝑆(𝑥) = 𝜋𝑟(𝑥)2 = 𝜋𝑟2 .
0𝐿
Тогда
𝑓(𝑥) = 𝜌(𝑥) = 𝜌 0𝐿 𝐿 −𝑥 = 𝜌 0 𝐿2 · 1 .
𝑆(𝑥) 𝜋𝑟2 𝑥 𝜋𝑟2 (𝐿 − 𝑥)𝑥
0𝐿 0
Минимум 𝑓(𝑥) достигается в точке максимума знаменателя 𝑥(𝐿 − 𝑥) (на рассматриваемом интервале 0 < 𝑥 < 𝐿). Это
парабола с ветвями, направленными вниз, значит максимум достигается в вершине:
𝐿
𝑥* = ,
Используемые формулы
𝑅(𝑥) = 𝜌(𝑥) , 𝑆(𝑥) = 𝜋𝑟2(𝑥).𝑃(𝑥) = 𝐼2𝑅(𝑥)𝑝(𝑥) = = 𝐼2 .𝑓(𝑥) = .𝑆(𝑥) = 𝜋𝑟(𝑥)2 = 𝜋𝑟2 .𝑓(𝑥) = 𝜌(𝑥) = 𝜌 0𝐿 𝐿 −𝑥 = 𝜌 0 𝐿2 · 1 .
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Пропустить часть условия.
- Сделать вывод без проверки промежуточного шага.
- Записать только ответ без объяснения.