Задание №175589: Механика

4. Пусть скорость каната в тот момент, когда он проходит положение, показанное на рисунке, равна v . Тогда за малое время t канат переместится на величину l  vt. И, следовательно, его потенциальная энергия уменьшится на величину   mg4R где m - масса кусочка каната длиной l (такое уменьшение потенциальной энергии каната обусловлено тем, что внизу трубы кусочек длиной l появился, вверху – пропал, все промежуточные кусочки как бы остались на месте). Эту массу найдем из очевидной пропорции m  2R l  m  m m  l 2R Отсюда находим, что изменение потенциальной энергии каната пропорционально отношению проекции его длины на вертикальное направление (4R) к его длине (2R): l 4R 2 2   mg4R  mgl  mgl  mgvt 2R 2R   По закону сохранения механической энергии такое уменьшение потенциальной энергии приведет к увеличению кинетической энергии каната, которое можно записать как mv  v2 mv2 mv2 K    mvv   mvv 2 2 2 где v - изменение скорости каната (в этой формуле мы пренебрегли слагаемым, содержащим квадрат малой величины v ). В результате из закона сохранения энергии находим ускорение каната 2 v 2 K    mvv  mgvt  a   g .  t  Чтобы найти те точки каната, в которых его натяжение равно нулю, мысленно разрежем канат в какой-то точке и найдем ускорения получившихся частей. Если эти ускорения будут одинаковы, то сила натяжения каната в той точке, в которой мы его разрезали, равна нулю. Но, поскольку ускорения участков каната определяются отношением проекцией длины каната на вертикальное направление к его длине, то нужно искать такие точки каната, для которых выполнено следующее условие. Отношение проекции верхней части каната на вертикальное направление к длине самой верхней части равно отношению проекции нижней части каната на вертикальное направление к длине его нижней части. Итак, пусть мы разрезали канат в точке, характеризуемой углом , отсчитанным  от верхней точки верхней окружности (см. рисунок). Тогда длина проекции верхней части каната на вертикальное направление есть l  R  Rcos R1cos 1 Длина этой части каната есть L R 1 Их отношение l 1cos 1  . L  1 Длина проекции нижней части на вертикальное направления l  4R  R1cos  R3cos 2 длина нижней части L  2R R  R2. 2 Их отношение l 3 cos 2  L 2 2 Отсюда получаем уравнение для тех точек каната, в которых его натяжение равно нулю 2 1cos  (*)  Это уравнение проще всего решить графически: нужно построить графики левой и правой части как функции угла  и найти точки их 2 пересечения. Левая часть уравнения представляет собой косинусоиду, сдвинутую вверх, левая часть – прямую, проходящую через начало координат и точку (,2). Эти графики показаны на рисунке, из  которого следует, что у них есть три токи пересечения   0,  и , 2 причем первый корень нас не интересует, поскольку он отвечает нулевому  M натяжению на краю каната (по условию, нам его искать не нужно). Эти точки ( M и N N ) показаны на рисунке. Аналогично доказывается, что для нижней части каната P смила натяжения будет равна нулю в точке P (см. рисунок). При этом поскольку других пересечений графиков правой и левой частей уравнения (*) (и аналогичного уравнения для нижней части каната) у нас нет, то только в трех этих точках сила натяжения каната равна нулю. Критерии оценивания решения задачи (максимальная оценка за решение – 5 баллов)