Задание №176030: Механика

5. При вращении заряженного цилиндра создается магнитное поле, причем такое же, как при пропускании тока через соленоид. Поскольку величина магнитного поля соленоида пропорциональна току в соленоиде, а ток связан со скоростью зарядов, при увеличении угловой скорости вращения цилиндра магнитное поле будет возрастать. Поэтому возникнет ЭДС самоиндукции, которая согласно правилу Ленца будет уменьшать ток в цилиндре, т.е. препятствовать его разгону (тормозить). И, следовательно, ускорение груза будет меньше того, какое было бы для незаряженного цилиндра. Найдем это ускорение. Вращение заряженного цилиндра эквивалентно кольцевому току. Силу такого тока найдем как отношение заряда, прошедшего через сечение боковой поверхности цилиндра, к соответствующему интервалу времени. Поскольку за время t через сечение пройдет заряд q v t l   =  , где v - скорость вращения цилиндра в этот момент, то I q t v l  =   = Магнитное поле соленоида, в котором течет ток I , и на единицу длины приходится число витков n есть 0 n I 0 I l   = , где I l - ток, текущий через единицу длины соленоида. Поэтому, когда наш цилиндр вращается со скоростью v , внутри него возникает следующее магнитное поле B = v 0 Это поле направлено вдоль оси цилиндра, поэтому его поток через цилиндр равен R 2 0 v    = Следовательно, при изменении скорости вращения цилиндра (при разгоне груза) возникает ЭДС индукции t R 2 0 v t R 2 0 a      =    =   = (1) которая согласно правилу Ленца будет препятствовать ускорению зарядов цилиндра, а поскольку цилиндр диэлектрический, будет препятствовать его разгону. (В формуле (1) a - ускорение точек на поверхности цилиндра, равное ускорению груза). Поскольку ЭДС индукции есть работа вихревого электрического поля над единичным зарядом при его кольцевом перемещении, из (1) можно найти напряженность вихревого электрического поля E . Используя осевую симметрию задачи, имеем 2 R E R 2 0 a E 1 2 0 R a      = =  = где E - напряженность вихревого электрического поля в точках поверхности цилиндра. Теперь можно записать второй закон Ньютона для тела и цилиндра. Учитывая, что ускорения груза и точек цилиндра – одинаковы (у них в любые моменты времени одинаковые скорости), что груз разгоняется силой тяжести, а тормозится силой натяжения нити, что точки цилиндра разгоняются силой натяжения а тормозятся силами, действующими на него со стороны вихревого электрического поля, получим ( m m a / = 2 ) T a − = Q ( m E / 2 ) g − T где Q = 2Rl - заряд цилиндра. Складывая эти уравнения и подставляя напряженность вихревого поля и заряд цилиндра, получим 3ma/2 = (m/2)g −2R2la 0 Откуда найдем a 3 m / ( 2 m / 2 ) 0 g 2 R 2 l 3 m 2 m g 0 2 R 2 l   = + = + Критерии оценивания