Задание №170997: Механика

2 Тогда уравнения принимают вид: 𝑘𝑉 cos𝛼 − 𝑉 cos𝛼 = 𝑘𝑈 + 𝑈 −→ 𝑘(𝑉 cos𝛼 − 𝑈 ) = 𝑈 + 𝑉 cos𝛼, 0 0 1 2 0 1 2 0 𝑘𝑉 2 cos2 𝛼 + 𝑉 2 cos2 𝛼 = 𝑘𝑈2 + 𝑈2 −→ 𝑘(𝑉 2 cos2 𝛼 − 𝑈2 ) = 𝑈2 − 𝑉 2 cos2 𝛼. 0 0 1 2 0 1 2 0 Перепишем последнее уравнение так: 𝑘(𝑉 cos𝛼 − 𝑈 )(𝑉 cos𝛼 + 𝑈 ) = (𝑈 + 𝑉 cos𝛼)(𝑈 − 𝑉 cos𝛼). 0 1 0 1 2 0 2 0 Поскольку подчёркнутые сомножители совпадают, уравнение упрощается: 𝑉 cos𝛼 + 𝑈 = 𝑈 − 𝑉 cos𝛼 −→ 𝑈 = 2𝑉 cos𝛼 + 𝑈 . 0 1 2 0 2 0 1 Отметим, что формально подчёркнутые сомножители могут обращаться в нуль при 𝑈 = 𝑉 cos𝛼 и 𝑈 = −𝑉 cos𝛼. 1 0 2 0 Этот случай соответствует отсутствию взаимодействия между шайбами и должен быть отброшен как нефизический. Окончательно получаем систему двух линейных уравнений для скоростей 𝑈 и 𝑈 : 1 2 𝑘(𝑉 cos𝛼 − 𝑈 ) = 𝑈 + 𝑉 cos𝛼, 0 31 2 0 𝑈 = 2𝑉 cos𝛼 + 𝑈 . 2 0 1 Подставляя значение 𝑈 в первое уравнение, получаем: 2 (︂ )︂ 𝑘 − 3 𝑘𝑉 cos𝛼 − 𝑘𝑈 = 2𝑉 cos𝛼 + 𝑈 + 𝑉 cos𝛼 −→ 𝑈 = 𝑉 cos𝛼, 0 1 0 1 0 1 𝑘 + 1 0 (︂ )︂ (︂ )︂ 𝑘 − 3 3𝑘 − 1 𝑈 = 2𝑉 cos𝛼 + 𝑈 = 2𝑉 cos𝛼 + 𝑉 cos𝛼 = 𝑉 cos𝛼 2 0 1 0 𝑘 + 1 0 𝑘 + 1 0 При 𝑘 = 3 имеем: 𝑈 = 0, 𝑈 = 2𝑉 cos𝛼. 1 2 0 Таким образом, в системе отсчёта 𝐾′ тяжёлая шайба 1 после столкновения останавливается, а лёгкая шайба 2 движется в направлении оси 𝑥′ с удвоенной скоростью. Конечные скорости шайб в неподвижной системе отсчёта 𝐾 равны: −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ 𝑉 = 𝑉 ′ + 𝑈 = 𝑉 ′ , 𝑉 = 𝑉 ′ + 𝑈 . 1 1 2 2 y → K V 2 β V → ' = V → 1 → U