Задание №172541: Задание 5

5
а их основания – одна и та же точка 𝐻, лежащая в плоскости 𝐾𝐿𝑀 (назовём эту плоскость
𝜏). Пусть 𝜎 – касательная плоскость к сфере, проведённая через точку 𝑃. Обозначим точку

2 ○c МФТИ, 2020

“Физтех–2020”, математика, решения 11 класс


пересечения 𝜎 и 𝑆𝐴 через 𝐸. Рассмотрим сечение пирамиды и сферы плоскостью 𝐴𝑆𝑂 (см.
рис.; на рисунке изображена лишь часть этого сечения).

(︀ )︀
Из прямоугольного треугольника 𝐾𝑆𝑂 получаем 𝑆𝑂 = 𝑅 . Тогда 𝑆𝑃 = 𝑆𝑂−𝑂𝑃 = 𝑅 1 − 1 .
sin𝛼 sin𝛼
Пусть площадь сечения пирамиды плоскостью 𝜎 равна 𝑆 = 5, а плоскостью 𝜏 – 𝑆 . Из подо-
0 𝐾𝐿𝑀
бия следует, что 𝑆 : 𝑆 = (𝐾𝐻 : 𝐸𝑃)2 = (𝑆𝐻 : 𝑆𝑃)2 = (𝑆𝑂−𝑂𝐻)2 : 𝑆𝑃2 =
(︀
𝑅 − 𝑅 sin𝛼
)︀2
:
𝐾𝐿𝑀 0 sin𝛼
𝑅2
(︀
1 − 1
)︀2
= (1 + sin𝛼)2. Следовательно, 𝑆 = 𝑆 (1 + sin𝛼)2 = 9,8.
sin𝛼 𝐾𝐿𝑀 0
б) Если плоскости 𝜏 и 𝐴𝐵𝐶 параллельны, то точка 𝐴 совпадает с точкой 𝐴 такой, что 𝐴 𝑄 ⊥
1 1
𝑆𝑂 (см. рис.). Тогда, обозначив площадь треугольника 𝐴𝐵𝐶 через 𝑆 , получаем 𝑉 =
𝐴𝐵𝐶 𝑆𝐴𝐵𝐶
1 ·𝑆𝑄·𝑆 = 1 ·(𝑆𝑂+𝑅)·𝑆 ·
(︀𝑆𝑄)︀2
= 1 ·(𝑆𝑂+𝑆𝑂 sin𝛼)·𝑆 ·(𝑆𝑂+𝑆𝑂 sin𝛼)2 : (𝑆𝑂−𝑆𝑂 sin𝛼)2 =
3 𝐴𝐵𝐶 3 0 𝑆𝑃 3 0
1 · 𝑆𝑂 · 𝑆 · (1+sin𝛼)3 = 1372.
3 0 (1−sin𝛼)2 3
5. [6 баллов] Найдите все значения параметра 𝑎, при которых система
{︃ √ √
𝑦 = |𝑥 − 𝑎| + 𝑎 − 2,
(|𝑥| − 4)2 + (|𝑦| − 3)2 = 25
имеет ровно три решения.
y
x












Рис. 2: вариант 13, задача 5

{︂ }︂
(︁ √ )︁2
Ответ. 𝑎 ∈ 1;16; 5 2+1 .