Задание №175407: Задание 3

3. Вершина C равнобедренной трапеции ABCD (AD || BC) лежит на основании AE прямоугольного
равнобедренного треугольника ADE. Докажите, что прямая CD перпендикулярна прямой BE.(А. Кузнецов)
Первое решение. Заметим, что BDA = CAD = 45º, поэтому BD  AC. Так как BC || AD  ED, то в
треугольнике BED прямые BC и EC содержат высоты. Следовательно, C — это точка пересечения его высот,
и потому CD  BE.
Второе решение. Обозначим через O точку пересечения диагоналей трапеции ABCD. Треугольник ADE
— равнобедренный, следовательно EAD = AED = 45º. В силу равнобедренности трапеции
ADB = DAC = 45º, откуда AOD = ADB+DAC = 90º. В равнобедренном треугольнике ADE отрезок DO
является высотой, следовательно DO — серединный перпендикуляр к AE. Точка B лежит на прямой DO,
значит BA = BE и BAE = BEA. Следовательно, BED = BAD = CDA.
Пусть P — точка пересечения DC и BE. В треугольнике PED PED+PDE = CDA+PDE = ADE = 90º.
Следовательно, EPD = 90º, что и требовалось доказать.
Третье решение. Достроим треугольник ADE до квадрата ADEF. Пусть O — его центр. Так как
ADB = CAD = 45º, точка B лежит на DF. Кроме того, OB = OC поскольку ABCD — равнобедренная
трапеция. При повороте вокруг точки O на 90º против часовой стрелки точки C и D переходят в B и E
соответственно, поэтому прямая CD переходит в прямую BE. Отсюда следует, что СD  BE.