Задание №175329: Задание 3
3. 2130 год будет «годом-перевёртышем» — если поставить знак «минус» между второй и третьей цифрами, то разность двух двузначных чисел, прочитанных слева направо, будет равна разности двузначных чисел, прочитанных справа налево: 21−30 = 03−12 = −9. Сколько всего таких лет в третьем тысячелетии? Примечание. Как видно из примера, числа могут начинаться с нуля, а разность не обязана быть положительной. ( Л. С. Корешкова) Ответ: 69 лет. 10 Решение. Расписав равенство по разрядам, приходим к выводу, что сумма первых двух должна быть равна сумме последних двух: 10𝑎 + 𝑏 − (10𝑐 + 𝑑) = 10𝑑 + 𝑐 − (10𝑏 + 𝑎) ⇒ 11(𝑎 + 𝑏) = 11(𝑐 + 𝑑) ⇒ 𝑎 + 𝑏 = 𝑐 + 𝑑. А так как нас интересуют годы в третьем тысячелетии, то 𝑎 = 2 (см. замечание в конце решения). Таким образом, достаточно перебрать возможные значения остальных цифр (например, по столетиям): • 𝑏 = 0: 𝑐 + 𝑑 = 2 → 2002, 2011, 2020 — 3 года; • 𝑏 = 1: 𝑐 + 𝑑 = 3 → 2103, 2112, 2121, 2130 — 4 года; • 𝑏 = 2: 𝑐 + 𝑑 = 4 → 2204, 2213, 2222, 2231, 2240 — 5 лет; • 𝑏 = 3: 𝑐 + 𝑑 = 5 → 2305, 2314, ..., 2350 — 6 лет; • 𝑏 = 4: 𝑐 + 𝑑 = 6 → 2406, 2415, ..., 2460 — 7 лет; • 𝑏 = 5: 𝑐 + 𝑑 = 7 → 2507, 2516, ..., 2670 — 8 лет; • 𝑏 = 6: 𝑐 + 𝑑 = 8 → 2608, 2617, ..., 2680 — 9 лет; • 𝑏 = 7: 𝑐 + 𝑑 = 9 → 2709, 2718, ..., 2790 — 10 лет; • 𝑏 = 8: 𝑐 + 𝑑 = 10 → 2819, 2828, ..., 2891 — 9 лет; • 𝑏 = 9: 𝑐 + 𝑑 = 11 → 2929, 2938, ..., 2992 — 8 лет. Всего получаем 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 9 + 8 = 69 лет-перевёртышей. Примечание. Строго говоря, третьим тысячелетием является диапазон лет с 2001 по 3000, но, так как ни 2000-й год, ни 3000-й не являются перевёртышами, мы можем смело рассматривать диапазон с 2000 по 2999 годы. Критерии. Доказано, что сумма двух первых цифр равна сумме двух последних — не менее 3 баллов. Наоборот, если перечислены (и верно подсчитаны) все годы-перевёртыши, но полностью отсутствует доказательство, что других нет — 2 балла. Неправильно подсчитаны годы-перевёртыши в каких-то столетиях — не больше 5 баллов. Рассматривается диапазон 2000–2999 вместо 2001–3000 — баллов не снимать.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Задание 3» и рассчитано на уровень 7 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада «Формула Единства» — официальный архив · 2025
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада «Формула Единства» — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2025
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Задание 3» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
3. 2130 год будет «годом-перевёртышем» — если поставить знак «минус» между второй и тре-
тьей цифрами, то разность двух двузначных чисел, прочитанных слева направо, будет равна
разности двузначных чисел, прочитанных справа налево: 21−30 = 03−12 = −9. Сколько всего
таких лет в третьем тысячелетии?
Примечание. Как видно из примера, числа могут начинаться с нуля, а разность не обязана
быть положительной. ( Л. С. Корешкова)
Ответ: 69 лет.
10
Решение. Расписав равенство по разрядам, приходим к выводу, что сумма первых двух долж-
на быть равна сумме последних двух:
10𝑎 + 𝑏 − (10𝑐 + 𝑑) = 10𝑑 + 𝑐 − (10𝑏 + 𝑎) ⇒ 11(𝑎 + 𝑏) = 11(𝑐 + 𝑑) ⇒ 𝑎 + 𝑏 = 𝑐 + 𝑑.
А так как нас интересуют годы в третьем тысячелетии, то 𝑎 = 2 (см. замечание в конце реше-
ния). Таким образом, достаточно перебрать возможные значения остальных цифр (например,
по столетиям):
• 𝑏 = 0: 𝑐 + 𝑑 = 2 → 2002, 2011, 2020 — 3 года;
• 𝑏 = 1: 𝑐 + 𝑑 = 3 → 2103, 2112, 2121, 2130 — 4 года;
• 𝑏 = 2: 𝑐 + 𝑑 = 4 → 2204, 2213, 2222, 2231, 2240 — 5 лет;
• 𝑏 = 3: 𝑐 + 𝑑 = 5 → 2305, 2314, ..., 2350 — 6 лет;
• 𝑏 = 4: 𝑐 + 𝑑 = 6 → 2406, 2415, ..., 2460 — 7 лет;
• 𝑏 = 5: 𝑐 + 𝑑 = 7 → 2507, 2516, ..., 2670 — 8 лет;
• 𝑏 = 6: 𝑐 + 𝑑 = 8 → 2608, 2617, ..., 2680 — 9 лет;
• 𝑏 = 7: 𝑐 + 𝑑 = 9 → 2709, 2718, ..., 2790 — 10 лет;
• 𝑏 = 8: 𝑐 + 𝑑 = 10 → 2819, 2828, ..., 2891 — 9 лет;
• 𝑏 = 9: 𝑐 + 𝑑 = 11 → 2929, 2938, ..., 2992 — 8 лет.
Всего получаем 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 9 + 8 = 69 лет-перевёртышей.
Примечание. Строго говоря, третьим тысячелетием является диапазон лет с 2001 по 3000, но,
так как ни 2000-й год, ни 3000-й не являются перевёртышами, мы можем смело рассматривать
диапазон с 2000 по 2999 годы.
Критерии. Доказано, что сумма двух первых цифр равна сумме двух последних — не менее 3 баллов.
Наоборот, если перечислены (и верно подсчитаны) все годы-перевёртыши, но полностью отсутствует
доказательство, что других нет — 2 балла.
Неправильно подсчитаны годы-перевёртыши в каких-то столетиях — не больше 5 баллов.
Рассматривается диапазон 2000–2999 вместо 2001–3000 — баллов не снимать.
Используемые формулы
разности двузначных чисел, прочитанных справа налево: 21−30 = 03−12 = −9.10𝑎 + 𝑏 − (10𝑐 + 𝑑) = 10𝑑 + 𝑐 − (10𝑏 + 𝑎) ⇒ 11(𝑎 + 𝑏) = 11(𝑐 + 𝑑) ⇒ 𝑎 + 𝑏 = 𝑐 + 𝑑.А так как нас интересуют годы в третьем тысячелетии, то 𝑎 = 2 (см.• 𝑏 = 0: 𝑐 + 𝑑 = 2 → 2002, 2011, 2020 — 3 года;• 𝑏 = 1: 𝑐 + 𝑑 = 3 → 2103, 2112, 2121, 2130 — 4 года;• 𝑏 = 2: 𝑐 + 𝑑 = 4 → 2204, 2213, 2222, 2231, 2240 — 5 лет;
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.