Задание №166024: Задание 3
Задание 3. Вариант 3. На острове живут аборигены. Любые два из них либо дружат, либо враждуют. Ни один из аборигенов не дружит с врагом своего друга, и каждый абориген имеет ровно пять врагов. Сколько аборигенов могло жить на острове? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Задание 3» и рассчитано на уровень 6 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: ВсОШ в Москве — официальный архив · 2025
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- ВсОШ в Москве — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2025
- Материалы
- 2 файла
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Задание 3» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Задание 3. Вариант 1. На острове живут аборигены. Любые два из них либо дружат, либо враждуют. Ни один
из аборигенов не дружит с врагом своего друга, и каждый абориген имеет ровно трёх врагов. Сколько аборигенов
могло жить на острове? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя
их при необходимости.
Ответ:
✓ 4
✓ 6
Решение.
Поскольку у каждого аборигена 3 врага, на острове живут хотя бы 4 аборигена. Докажем, что на острове не может
жить более 6 аборигенов. Рассмотрим пару врагов 𝐴, 𝐵. Любой другой житель острова по условию не может одновре-
менно дружить с 𝐴 и 𝐵, то есть он является врагом хотя бы одного из 𝐴 и 𝐵. Но у 𝐴, кроме 𝐵, ровно два врага, и у 𝐵,
кроме 𝐴, ровно два врага, и поэтому всего жителей не более 6.
Докажем, что пяти жителей быть не может. Предположим противное. Пусть каждый поздоровается за руку со сво-
ими тремя врагами. В этих рукопожатиях участвует 5 · 3 = 15 рук, но число участвующих рук должно быть чётным,
поскольку в каждом рукопожатии участвует две руки — противоречие.
Используемые формулы
В этих рукопожатиях участвует 5 · 3 = 15 рук, но число участвующих рук должно быть чётным,
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.