Задание №180688: Устная олимпиада 2026
1. Викторина. Костя, Миша и Антон участвовали в школьной викторине. Всего было меньше чем 60 вопросов, на каждый из которых отвечал ровно один из участников (тот, кто нажимал кнопку первым). За верный ответ давалось 10 очков, а за неверный снималось 10 очков. Все участники дали одинаковое количество верных ответов, но в итоге оказалось, что Костя и Миша набрали по 110 очков каждый, а Антон — минус 100 очков. Сколько очков набрал бы Антон, если бы он ответил верно на все свои вопросы?
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Устная олимпиада 2026» и рассчитано на уровень 7 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Устные математические олимпиады МЦНМО — официальный архив · 2026
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Устные математические олимпиады МЦНМО — официальный архив
- Организатор
- МЦНМО
- Год материала
- 2026
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Устная олимпиада 2026» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
1. Викторина. Костя, Миша и Антон участвовали в школьной викторине. Всего было
меньше чем 60 вопросов, на каждый из которых отвечал ровно один из участников (тот,
кто нажимал кнопку первым). За верный ответ давалось 10 очков, а за неверный
снималось 10 очков. Все участники дали одинаковое количество верных ответов, но в
итоге оказалось, что Костя и Миша набрали по 110 очков каждый, а Антон — минус 100
очков. Сколько очков набрал бы Антон, если бы он ответил верно на все свои вопросы?
М. Евдокимов
Ответ: 320.
Решение. Так как Костя и Миша дали одинаковое количество верных ответов и
набрали одинаковое количество очков, то и количество неверных ответов у них
одинаковое. Пусть оно равно x, тогда, так как они набрали по 110 очков, то каждый из них
верно ответил на 11 + x вопросов (x верных ответов и x неверных друг друга
скомпенсировали).
Так как Антон набрал минус 100 очков, то он неверно ответил на x + 21 вопрос.
Таким образом, всего было задано 3(11 + x) + 2x + x + 21 = 54 + 6x вопросов. Так как по
условию 54 + 6x < 60, то x < 1, то есть x = 0. Значит, каждый из ребят верно ответил на 11
вопросов, Костя и Миша ошибок не допустили, а Антон ошибся 21 раз. Если бы он не
ошибался, то ответил бы верно на 32 вопроса и набрал бы 320 очков.
Используемые формулы
Таким образом, всего было задано 3(11 + x) + 2x + x + 21 = 54 + 6x вопросов.условию 54 + 6x < 60, то x < 1, то есть x = 0.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.