Задание №176162: Задание 5

ы и решения
Задача 1. Пусть x , x ,..., x – цена каждой монеты, лежащей на столе первоначально, а
1 2 n
y –
цена монеты Пети. Составим систему уравнений по условию задачи:

y
y


3
3
6
0
0
0
0
0


1
n
n
m
1

n
 1
1
x

m
y
,
 m
n
 1
x
m

.
Перепишем эту систему в виде:

n
 n
 y


1 
3

6
y
0

0 
3 0

0
m
0
n


1

x
m
y
,
 m
n
 1
x
m
.
Вычтем из первого уравнения второе уравнение:
n  y  3 6 0 0    n  1   y  3 0 0 0   y  0 .
Отсюда получаем:
6 0 0 n  3 0 0 0  0 .
Тогда n=5, а n+1=6.
6 монет.
Задача 2. Представим число 1 2 2 0 2 5  2 2 0 2 5 в виде:
122025  22025  22025  62025 1   22025  (51)2025 1  .
Применим к (51)2025 формулу бинома Ньютона:
( 5  1 ) 2 0 2 5  5 2 0 2 5  C 12
0 2 5
 5 2 0 2 4  . . .  C 22 00 22 25  5 3  C 22 00 22 35  5 2  C 22 00 22 45  5  1 .
Тогда

122025  22025  22025  52025  C1 52024 ... C2022 53  C2023 52  C2024 5  
2025 2025 2025 2025
 20252024 
 22025 52025  C1 52024 ... C2022 53  52  20255 
 
 2025 2025 2 
 22025  52025  C1 52024 ... C2022 53 81101254 8153 .
2025 2025
Наибольшее n , при котором выражение в скобках делится на 5 n , равно 3. Оно же максимальное
при делении всего выражения на 1 0 n .
n=3.
Задача 3. Отметим, что из условия задачи следует, что 𝑛 ≥ 2. Преобразуем левую часть
неравенства. Заметим, что
(m 1)3 1 (m  2)((m 1)2  (m 1) 1)  (m  2)(m2  m 1).
Поэтому
( m
m

3
1 )

3
1
 1

m
m


2
1
, m  3 , 4 , . . , ( n  1 ) .
Перемножим полученные равенства для m  3,4,..,(n1):
( 3 3  1
(
)
2
(
3
4

3 
1 )
1
(
)
3
(
3
5

3 
1 )
1
(
)
4

3
. .

. 
1
(
)
n

3
. .

. 
1
(
)
n
(
3
( n


1 )
1 ) 3  1 )

4  5
1


.
2
. .


.
(
.
n
. 

( n
1 )

(
1
n
)
 2 )

n ( n
1


1
2
)

(
3
n  2 )
Тогда левая часть неравенства примет вид:
1  2
9
 3

n
(
(
(
n
n


1
1
)
)
(
3
n


1 )
2 )

2 (
3
n
n
2
(

n
n


1 )
1 )
.
В результате мы получили неравенство:
2 (
3
n
n
2
(

n
n


1 )
1 )

1
7
0
.
Перепишем его в виде: n 2  n  2 0  0 . Решая его методом интервалов, получим, что n  4.
n  4 .
Задача 4. Докажем, что оба слагаемых в левой части уравнения имеют одинаковый знак. Так
как
 s
s
i g
i g
n
n
(
( 3
x
c

o s 2
2
y
)


1
s
)
i

g n
s i

g
2
n
x


c o
4
s
 ,
2 y  ,
то
sign (x  2)(3cos2y 1)  sign  2x  4  cos2y.
   
Тогда равенство нулю левой части уравнения возможно только в случае, если каждое из этих
 x  2,
слагаемых равно нулю, те когда  или
y  R,
 c o s
x
2

y
R

.
0 ,  x  2,
Если  то
y  R,
 x 2  y 2 
m in
 4 . А
если
 c o s
x
2

y
R

,
0 ,
  k
y   , 2
то  4 2 и  x2  y2  . Сравнивая полученные минимальные
min 16
  x R,
2
значения, находим, что  x2  y2  .
min 16
2
.
16

Задача 5. Обозначим A C  a , A B  b , A D  c . Искомый угол не зависит от длины ребер,
поэтому полагаем их равными 1. Найдём разложения векторов 𝑁⃗⃗⃗⃗⃗𝑀⃗⃗ и 𝑁⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ по базису 𝑎 , 𝑏⃗ , 𝑐 .


















E M 
1
2
E F 
1
2

A F  A E


1
2
 1
2
( a  b ) 
1
2
c


1
4
( a  b  c ) ,
A M  A E  E M 
1
2
c 
1
4
( a  b  c ) 
1
4
( a  b  c ) ,
A N  A D  D N  c 
3
4
D C  c 
3
4
 a  c  
3
4
a 
1
4
c ,
1  3 1  1 1
NM  AM  AN  (a b  c) a  c   a  b,
 
4  4 4  2 2
N C  A C  A N  a 
3
4
a 
1
4
c 
1
4
a 
1
4
c .
D
𝑐
3x
E
N
x
M 𝑎
C
A
F
⃗
𝑏
B
Обозначим искомый угол через 𝛼 . Тогда
(𝑁⃗⃗⃗⃗⃗𝑀⃗⃗ ,𝑁⃗⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ )
cos 𝛼 = .
|𝑁⃗⃗⃗⃗⃗𝑀⃗⃗ |∙|𝑁⃗⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ |
Найдём скалярное произведение векторов 𝑁⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ и 𝑁⃗⃗⃗⃗⃗𝑀⃗⃗ и |𝑁⃗⃗⃗⃗⃗𝑀⃗⃗ | ,|𝑁⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ | . Воспользуемся условиями
(𝑎 , 𝑎 ) = (𝑏⃗ ,𝑏⃗ ) = (𝑐 ,𝑐 ) = 1, (𝑎 ,𝑏⃗ ) = (𝑎 ,𝑐 ) = (𝑏⃗ ,𝑐 ) = 1 .
2
Тогда (𝑁⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ ,𝑁⃗⃗⃗⃗⃗𝑀⃗⃗ ) = ( 1 𝑎 − 1 𝑐 ,− 1 𝑎 + 1 𝑏⃗ ) = − 1 .
4 4 2 4 16
|𝑁⃗⃗⃗⃗⃗𝑀⃗⃗ | = √(− 1 𝑎 + 1 𝑏⃗ ,− 1 𝑎 + 1 𝑏⃗ ) = √3
2 4 2 4 4
|𝑁⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ | = √( 1 𝑎 − 1 𝑐 , 1 𝑎 − 1 𝑐 ) = 1 .
4 4 4 4 4
(𝑁⃗⃗⃗⃗⃗𝑀⃗⃗ ,𝑁⃗⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ ) √3
Подставляя найденные значения в формулу cos 𝛼 = , получим cos 𝛼 = − .
|𝑁⃗⃗⃗⃗⃗𝑀⃗⃗ |∙|𝑁⃗⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ | 3
√3
− .
3

Вариант 2