Задание №176101: Задание 5

ы и решения
Задача 1. Обозначим 𝜆 = 𝐴 𝐵:𝐴 𝐶 = 𝐵 𝐴 :𝐵 𝐶 = 𝐶 𝐴 :𝐶 𝐵 , по условию 𝜆 > 1. Обозначим
1 1 1 1 1 1 1 1 1
𝑎 = 𝐵𝐶. Пусть 𝑥 – длина отрезка 𝐴 𝐶, 𝑦 – длина отрезка 𝐵 𝐶, 𝑧 – длина отрезка 𝐵 𝐶 .
1 1 1 1
Требуется найти максимальную возможную длину отрезка 𝐵 𝐶 .
1 1
Существует 3 случая для расположения точки 𝐴 на прямой 𝐵𝐶, положение точек 𝐵 и 𝐶
1 1 1
определено однозначно.
1 случай. 𝐴 1 на отрезке 𝐵𝐶. 𝜆𝑥 𝑥
𝑎 = 𝐵𝐶 = 𝐵𝐴 + 𝐴 𝐶 = 𝜆𝑥 + 𝑥 = (𝜆 + 1)𝑥.
1 1 𝐵 𝐴 𝐶
1
𝑥 = 𝐴 𝐶 = 𝐴 𝐵 + 𝐵 𝐶 = 𝜆𝑦 + 𝑦 = (𝜆 + 1)𝑦.
1 1 1 1 𝜆𝑦 𝑦
𝜆𝑦 = 𝐴 𝐵 = 𝐴 𝐶 + 𝐶 𝐵 = 𝜆𝑧 + 𝑧 = (𝜆 + 1)𝑧.
1 1 1 1 1 1 𝐵 𝐴 𝐵 𝐶
𝜆𝑦 𝜆𝑥 𝜆𝑥 𝜆𝑎 1 1
Тогда 𝑧 = = = = .
𝜆+1 (𝜆+1)2 (𝜆+1)2 (𝜆+1)3 𝜆𝑧 𝑧
𝑎 𝑥
𝐵 𝐴
1
𝐶
1
𝐵
1
𝐶
2 случай. 𝐴
𝐵 𝐶 𝐴 1
1 на прямой 𝐵𝐶 за точкой 𝐶.
𝑦 𝜆𝑦
𝑎 = 𝐵𝐶 = 𝐵𝐴 − 𝐴 𝐶 = 𝜆𝑥 − 𝑥 = (𝜆 − 1)𝑥.
1 1
𝐵 𝐶 𝐵 1 𝐴 1 𝑥 = 𝐴 𝐶 = 𝐴 𝐵 + 𝐵 𝐶 = 𝜆𝑦 + 𝑦 = (𝜆 + 1)𝑦.
1 1 1 1
𝑧 𝜆𝑧 𝜆𝑦 = 𝐴 𝐵 = 𝐴 𝐶 + 𝐶 𝐵 = 𝜆𝑧 + 𝑧 = (𝜆 + 1)𝑧.
1 1 1 1 1 1
𝐵 𝐴 1 𝐵 1 𝐶 1 𝐴 1 Тогда 𝑧 = 𝜆𝑦 = 𝜆𝑥 = 𝜆𝑥 = 𝜆𝑎 .
𝜆+1 (𝜆+1)2 (𝜆+1)2 (𝜆+1)2(𝜆−1)
3 случай. 𝐴 на прямой 𝐵𝐶 за точкой 𝐵. Тогда 𝐴 𝐵 <
1 1 𝑎
𝐴 𝐶, но 𝐴 𝐵 = 𝜆 𝐴 𝐶 > 𝐴 𝐶. Получено противоречие
1 1 1 1 𝐴 𝐵 𝐶
и случай 3 невозможен. 1
𝜆𝑎 𝜆𝑎
Так как 𝜆 > 1, то < и длина 𝑧 отрезка 𝐵 𝐶 меньше в первом случае, и
(𝜆+1)3 (𝜆+1)2(𝜆−1) 1 1
𝜆𝑎 2 ⋅54
больше во втором случае. Искомая длина 𝑧 = = = 12 см.
(𝜆+1)2(𝜆−1) (2+1)2(2−1)
12 см.

Задача 2. Пусть 𝑃(𝑥) = 𝑐 + 𝑐 𝑥 + 𝑐 𝑥2 + ⋯+ 𝑐 𝑥𝑛 и 𝑄(𝑥) = 𝑑 + 𝑑 𝑥 + 𝑑𝑥2 + ⋯+𝑑 𝑥𝑛.
0 1 2 𝑛 0 1 𝑛
Тогда 𝑃(1) = 𝑐 + 𝑐 + 𝑐 + ⋯ + 𝑐 = ∑𝑛 𝑐 , 𝑄(1) = 𝑑 + 𝑑 + 𝑑 + ⋯+ 𝑑 = ∑𝑚 𝑑 .
0 1 2 𝑛 𝑘=0 𝑘 0 1 2 𝑚 𝑘=0 𝑘
По условию суммы коэффициентов многочленов 𝑃 и 𝑄 равны, значит 𝑃(1) = 𝑄(1).
Для натуральных 𝑎 рассмотрим разность 𝑃(𝑎) − 𝑄(𝑎) = (𝑃(𝑎) − 𝑃(1)) − (𝑄(𝑎) − 𝑄(1)) .
Величина
𝑃(𝑎) − 𝑃(1) = (𝑐 + 𝑐 𝑎 + 𝑐 𝑎2 + ⋯+ 𝑐 𝑎𝑛) − (𝑐 + 𝑐 + 𝑐 + ⋯+ 𝑐 ) =
0 1 2 𝑛 0 1 2 𝑛
= 𝑐 (𝑎 − 1) + 𝑐 (𝑎2 − 1) + ⋯+ 𝑐 (𝑎𝑛 − 1) = ∑𝑛 𝑐 (𝑎𝑘 − 1)
1 2 𝑛 𝑘=1 𝑘
делится на 𝑎 − 1, так как 𝑎𝑘 − 1 делится на 𝑎 − 1 для всех натуральных 𝑘, и все
коэффициенты 𝑐 целые. Аналогично, величина 𝑄(𝑎) − 𝑄(1) делится на 𝑎 − 1.
𝑘
Следовательно, 𝑃(𝑎) − 𝑄(𝑎) делится на 𝑎 − 1.
Возьмем 𝑎 = 2024, получим, что 𝑃(2024) − 𝑄(2024) делится на 2023. Каждый
натуральный делитель числа 2023 = 7 ∙ 172 имеет вид 𝑏 = 7𝑖 ∙ 17𝑗, где 𝑖 ∈ {0,1}, 𝑗 ∈ {0,1,2}.
𝑖𝑗
Количество различных натуральных делителей числа 7 ∙ 172 равно числу способов выбрать
упорядоченную пару чисел (𝑖, 𝑗), это количество равно 2 ∙ 3 = 6. Каждый делитель числа
2023 является делителем целой величины 𝑃(𝑎) − 𝑄(𝑎), следовательно, 𝑃(𝑎) − 𝑄(𝑎) имеет
не менее 6 различных натуральных делителей.
Задача 3. Пусть 𝑛 = 𝑝 𝑟1 ⋅ 𝑝 𝑟2, где 𝑝 и 𝑝 – простые делители натурального числа 𝑛 c
1 2 1 2
кратностями 𝑟 и 𝑟 , соответственно. Обозначим 𝑛 количество натуральных чисел, не
1 2 1
превосходящих 𝑛 и делящихся на 𝑝 , 𝑛 – количество натуральных чисел, не
1 2
превосходящих 𝑛 и делящихся на 𝑝 , 𝑛 – количество натуральных чисел, не
2 3
превосходящих 𝑛, делящихся на 𝑝 и на 𝑝 . Тогда
1 2
𝑛 = 𝑝 𝑟1−1 ⋅ 𝑝 𝑟2, 𝑛 = 𝑝 𝑟1 ⋅ 𝑝 𝑟2−1, 𝑛 = 𝑝 𝑟1−1 ⋅ 𝑝 𝑟2−1.
1 1 2 2 1 2 3 1 2
Заметим, что количество натуральных чисел, не взаимно простых с 𝑛 и не превосходящих 𝑛,
равно 𝑛 + 𝑛 − 𝑛 . Тогда количество чисел, взаимно простых с 𝑛 и не превосходящих 𝑛,
1 2 3
равно
𝑎(𝑛) = 𝑛 − (𝑛 + 𝑛 − 𝑛 ) = 𝑝 𝑟1 ⋅ 𝑝 𝑟2 − 𝑝 𝑟1−1 ⋅ 𝑝 𝑟2 − 𝑝 𝑟1 ⋅ 𝑝 𝑟2−1 + 𝑝 𝑟1−1 ⋅ 𝑝 𝑟2−1 =
1 2 3 1 2 1 2 1 2 1 2
= 𝑝 𝑟1−1 ⋅ 𝑝 𝑟2−1 ⋅ (𝑝 𝑝 − 𝑝 − 𝑝 + 1) = 𝑝 𝑟1−1 ⋅ 𝑝 𝑟2−1 ⋅ (𝑝 − 1)(𝑝 − 1).
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
Для 𝑛 = 2025 = 34 ⋅ 52
𝑎(2025) = 33 ⋅ 51 ⋅ (3 − 1)(5 − 1) = 1080.
𝑎(2025) = 1080.
Задача 4. Если (𝑥; 𝑦) – решение системы, то 𝑥 является решением второго уравнения
системы (2) 𝑥13 + 𝑥9 + 𝑥5 = 1. Заметим, что 𝑥 ≤ 0 и 𝑥 = 1 не удовлетворяют этому
уравнению. Тогда, если его решение 𝑥 существует, то 𝑥 > 0,𝑥 ≠ 1. Более того, функция
𝑓(𝑥) = 𝑥13 + 𝑥9 + 𝑥5 – монотонно возрастает, является многочленом нечетной степени, и
поэтому принимает все действительные значения. Тогда уравнение (2) 𝑥13 + 𝑥9 + 𝑥5 = 1
имеет, и ровно одно решение. Умножим обе части второго уравнения на 𝑥4 − 1 ≠ 0 и
примерим формулу разности кубов:
(𝑥13 + 𝑥9 + 𝑥5)(𝑥4 − 1) = 𝑥4 − 1
𝑥17 = 𝑥5 + 𝑥4 − 1
Из первого уравнения системы получаем 𝑥у = 𝑥5 + 𝑥4 − 1. Тогда 𝑥17 = 𝑥у, при этом 𝑥 > 0,
𝑥 ≠ 1, так как 𝑥 – решение уравнения (2). Следовательно, 𝑥17 = 𝑥у выполняется, только если
у = 17. И наоборот, при у = 17 решение 𝑥 второго уравнения 𝑥13 + 𝑥9 + 𝑥5 = 1
удовлетворяет и первому уравнению 𝑥17 + 1 = 𝑥5 + 𝑥4.
у = 17.

Задача 5. Обозначим 𝑂 – центр вписанной окружности 𝜔 четырехугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷, 𝑟 – ее
радиус. Обозначим 𝑃 и 𝑁 – точки касания окружности 𝜔 сторон 𝐴𝐵 и 𝐷𝐴, соответственно.
Обозначим 𝑎 длины сторон 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶.