Задание №176142: Задание 5

ы и решения

Задача 1. Пусть 𝑣 - скорость Пети, тогда скорость Васи равна 3𝑣. Пусть 𝑡 – время, через которое
выехал Вася после отправления Пети. Обозначим через C точку первой встречи Васи и Пети. До первой
встречи (в точке C) Вася добирался на 𝑡 часов меньше, чем Петя. Поэтому
𝐴𝐶 𝐴𝐶 3
= + 𝑡 ⇒ 𝐴𝐶 = 𝑣𝑡
𝑣 3𝑣 2
За 2 часа после первой встречи Петя и Вася суммарно преодолели расстояние, равное 2𝐶𝐵. Поэтому,
учитывая отдых Васи,
1 7
2𝑣 + (2 − )3𝑣 = 2𝐶𝐵 ⇒ 𝐶𝐵 = 𝑣
3 2
Поскольку Петя и Вася закончили движение в одно время, то
𝐴𝐵 2𝐴𝐵 1 1
= + 𝑡 + ⇒ 𝐴𝐵 = 3𝑣 (𝑡 + )
𝑣 3𝑣 3 3
3 7 1 5
Учитывая, что 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 + 𝐶𝐵, получим 𝑣𝑡 + 𝑣 = 3𝑣 (𝑡 + ) ⇒ 𝑡 = . Таким образом, путешествие
2 2 3 3
𝐴𝐵 1
Пети продолжалось = 3(𝑡 + ) = 6 часов.
𝑣 3
6 часов.
Задача 2. Поскольку число 𝑛 имеет ровно три простых делителя, среди которых есть 2, 3 и 5, то
𝑛 = 2𝑝3𝑞5𝑟
для некоторых натуральных 𝑝,𝑞,𝑟.
Произвольный делитель имеет вид
2𝑎3𝑏5𝑐,
где 0 ≤ 𝑎 ≤ 𝑝,0 ≤ 𝑏 ≤ 𝑞,0 ≤ 𝑐 ≤ 𝑟.
Таким образом, общее число делителей числа 𝑛 равно
(𝑝 + 1)(𝑞 + 1)(𝑟 + 1).

𝑛
Число имеет 𝑝(𝑞 + 1)(𝑟 + 1) делителей и по условию
2
(𝑝 + 1)(𝑞 + 1)(𝑟 + 1) − 𝑝(𝑞 + 1)(𝑟 + 1) = (𝑞 + 1)(𝑟 + 1) = 15.
Аналогично имеем
(𝑝 + 1)(𝑟 + 1) = 12,
(𝑝 + 1)(𝑞 + 1) = 20.
Поскольку 𝑝,𝑞,𝑟 натуральные, то 𝑝 + 1 = 4,𝑞 + 1 = 5,𝑟 + 1 = 3.
𝑛 = 233452 = 16200.
Задача 3. Преобразуем уравнение:
𝜋 𝜋
sin𝑥 + 𝑥 = sin( − 𝑦) + ( − 𝑦).
2 2
Функция 𝑓(𝑥) = sin𝑥 + 𝑥 строго возрастает на всей числовой прямой. Действительно,
𝑓′(𝑥) = cos𝑥 + 1 ≥ 0.
Нули производной разделяют интервалы возрастания функции, поэтому 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑦) влечет 𝑥 = 𝑦.
𝜋 𝜋
Тогда из исходного соотношения получаем 𝑥 = − 𝑦, поэтому sin(𝑥 + 𝑦) = sin = 1.
2 2
1.
Задача 4. Пусть 𝑥 , 𝑥 , 𝑥 − корни уравнения, причем 𝑥 +𝑥 = 𝑥 𝑥 . Числа 𝑥 и 𝑥 являются
1 2 3 1 2 1 2 1 2
корнями квадратного уравнения 𝑥2 − (𝑥 + 𝑥 )𝑥 + 𝑥 𝑥 = 0, поэтому дискриминант неотрицателен, то
1 2 1 2
есть (𝑥 + 𝑥 )2 − 4(𝑥 + 𝑥 ) ≥ 0. Так как корни положительны, то отсюда следует, что (𝑥 + 𝑥 ) ≥ 4.
1 2 1 2 1 2
По теореме Виета 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 = 1, но тогда 𝑥 отрицателен.
1 2 3 3
𝑏 ∈ ∅.
Задача 5. Проведем через скрещивающиеся прямые параллельные плоскости. В этих плоскостях построим
равные параллелограммы 𝐴𝐵𝑄𝑃 и 𝐶𝐷𝑁𝑀 так, чтобы 𝐴𝐵𝑄𝑃 получался из 𝐶𝑀𝑁𝐷 (или из 𝐷𝑁𝑀𝐶) параллельным
переносом. На рисунке изображен параллелепипед,


в основании которого параллелограмм 𝐴𝐵𝑄𝑃 со сторонами 𝑎 = 2,𝑏 = 3 и острым углом 𝛼 = 30°. Его
высота, опущенная на это основание, равна 𝑑 = 1. Отрезки 𝐶𝐷 и 𝐴𝐵 лежат на скрещивающихся
прямых, образующих между собой угол 𝛼 и отстоящих друг от друга на расстоянии 𝑑. Объем пирамиды
𝐴𝐵𝐶𝐷 равен шестой части объема параллелепипеда, который равен 𝑎𝑏𝑑 sin𝛼. В нашем случае
1 1
𝑎𝑏𝑑 sin𝛼 = 2 ∙ 3 ∙ 1 ∙ = 3. Поэтому объем пирамиды 𝐴𝐵𝐶𝐷 равен .
2 2
1
.
2
Вариант 2