Задание №176081: Задание 5

ы и решения
Задача 1. Обозначим m
1
и n
1
 число семечек, съеденных Машей и Дашей в первый день,
m и n  во второй. По условию задачи
2 2
 m
m
m
1
2
1



0
1
m
, 8
, 2
2
5
5

n
n
1
1
2
,
,
,
1 2  n
1
 n
2
 .
Исключим из третьего уравнения:
0,85n 1,25n 1,12n  n .
1 2 1 2
После приведения подобных получим: 0 , 1 3 n
2
 0 , 2 7 n
1
. Отсюда находим n
2

2
1
7
3
n
1
. Так как
n
2
 натуральное число, то n
1
 1 3 k , k  N . Тогда n  27k . Выразим m и
2 1 1
m
2
через k:
17 1713k 5 527k
m  0,85n  n  , m 1,25n  n  .
1 1 20 1 20 2 2 4 2 4
Наименьшее k, при котором и m
1
и m − натуральные числа равно 20. Таким образом,
2
наименьшее число семечек, которое могли съесть Маша и Даша вместе за два вечера равно
n n m m  1320272017135275  800 221675 1696.
1 2 1 2 min
1696.
Задача 2. Умножим первое уравнение системы на 5, а второе на 3 и сложим результаты:

8 ( x 2  y 2 ) x 2  y 2  2 1 6 .
Отсюда получаем:
x 2  y 2  9 .

Вычтем из второго уравнения первое:
8xy x2  y2  480.

С учетом того, что x 2  y 2  3 , находим xy  20.В результате получили систему:
 x

x
2
y


y
2
2
0

.
9 ,
Выразим y из второго уравнения и подставим в первое уравнение:
400
x2   9  x4 9x2  400  0.
x2
Это квадратное уравнение относительно x 2 . Его корни x 2  2 5 и x2  16. Последний корень
нам не подходит. Находим x  5. При x  5 y  4 , при x  5 y   4 .
 x
y


5
4
,
 x
y




5
4
.
Задача 3. Запишем возможные варианты разложения числа 15 в виде произведения двух
множителей: 15 115  35. Это означает, что условиям задачи удовлетворяют
прямоугольники размера 1  1 5 и 3  5 . Сначала посчитаем число различных прямоугольников
размера 1  1 5 , которые можно поместить в прямоугольник P со сторонами 3 0 и 4 0 :
3 0  ( 4 0  1 5  1 )  4 0  ( 3 0  1 5  1 )  1 4 2 0 .
Теперь посчитаем число различных прямоугольников размера 3  5 , которые можно
поместить в прямоугольник P со сторонами 30 и 4 0 :
( 3 0  3  1 )  ( 4 0  5  1 )  ( 4 0  3  1 )  ( 3 0  5  1 )  1 9 9 6 .
Складывая полученные числа, находим общее число различных прямоугольников Q ,
принадлежащих P и составленных из 1 5 квадратов: 1 4 2 0  1 9 9 6  3 4 1 6 .
3416.
Задача 4. Докажем, что при оптимальной стратегии на выигрыш после выполнения второй
команды первая команда не должна повторяться более двух раз. Пусть a – некоторое число.
Покажем, что группа команд 2-1-1-1 и 1-2 приводит к тому же результату, за меньшие деньги.
При выполнении команд 2-1-1-1 число a преобразуется в число 3a+12, а получение из a числа
3a+12 обойдется в 2+3∙5=17 р. При выполнении команд 1-2 число a преобразуется в число
3(a+4)= 3a+12, а получение из a того же числа 3a+12обойдется в 5+2=7 р. Поэтому стратегия
наибольшего выигрыша, рассматриваемая от конца, такова: если число A выигрыша делится
на 3, то последняя команда вторая, если имеет в остатке 1, то применить один раз первую
команду, наконец, если A при делении на 3 имеет остаток 2, то следует применить первую
команду дважды. Для A 1917 эта стратегия выглядит так 212211222. Цена
такой стратегии 27  6235 р, а выигрыш составляет 1 0 0  2 7  7 3 р. Сделаем проверку:
((134)3344)333 1917.
73 р.
Задача 5. Пусть M и N – середины сторон AB и CD соответственно. Опустим из точек N и
C перпендикуляры N K и C P на прямую AB . Тогда A B C P  прямоугольная трапеция, а N K 
ее средняя линия. Рассмотрим прямоугольный треугольник CPB :
1
CBP 1800 1500  300, CP  BC  3, BP  BC2 CP2  12 3  3.
2
Найдем NK :

CP  DA 3 3
NK   .
2 2
Обозначим A M  M B  x . Тогда AP  2x3, а A K 
A
2
P
 x 
3
2
. Вычислим M K :
M K  A K  A M 
3
2
.
Расстояние между серединами сторон AB и CD это длина отрезка MN :
M N  N K 2  M K 2 
2
4
7

9
4

6
2
 3 .
3.
Вариант 2