Задание №171234: Механика
2 Задача 2. Кубик массой 𝑀 стоит на гладкой горизонтальной поверхности. Внутри кубика закреплён гладкий желоб в форме четверти дуги окружности. Желоб соединяет центр верхней грани с центром правой боковой грани. В верхнее отверстие кладут шарик массой 𝑚, не сообщая ему начальной скорости. Найдите скорость кубика в момент вылета шарика из бокового отверстия. Отношение массы шарика к массе кубика 𝑘 = 𝑚 = 1,25. Ускорение свободного падения 𝑀 𝑔 = 10 м/с2. Длина ребра кубика составляет 0,081 м.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Механика» и рассчитано на уровень 9 класса. Для решения понадобятся:
- построение модели
- применение физических законов
- проверка единиц измерения
Источник: Олимпиада «Курчатов» — официальный архив
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада «Курчатов» — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Механика» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Физика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Обозначим длину ребра кубика через 𝑎. Шарик стартует из центра верхней грани на высоте 𝑎, а вылетает из центра
правой грани на высоте 𝑎/2. Следовательно, потеря потенциальной энергии шарика равна
(︁ 𝑎)︁ 𝑚𝑔𝑎
∆𝑈 = 𝑚𝑔 𝑎 − = .
2 2
Заметим, что желоб гладкий, поэтому скорость шарика в каждый момент направлена по касательной к желобу. По-
скольку желоб является четвертью окружности и соединяет центры граней так, что в точке выхода касательная горизон-
тальна (перпендикулярна правой грани), то в момент вылета скорость шарика направлена горизонтально вправо.
Напишем закон сохранения горизонтальной проекции импульса. Внешних горизонтальных сил, действующих на си-
стему из кубика и шарика, нет, значит горизонтальная проекция совокупного импульса системы сохраняется.
Пусть непосредственно после вылета шарик имеет в лабораторной системе скорость 𝑣 вправо, а кубик — скорость 𝑉
влево. Тогда при совокупном нулевом начальном импульсе:
𝑚
𝑚𝑣 − 𝑀𝑉 = 0 ⇒ 𝑉 = 𝑣.
𝑀
Напишем закон сохранения энергии. Трение отсутствует, а опора гладкая и работы не совершает, поэтому
𝑚𝑔𝑎 𝑀𝑉 2 𝑚𝑣2
= + .
2 2 2
𝑚
Подставим 𝑉 = 𝑣:
𝑀
𝑚𝑔𝑎 𝑀 (︁ 𝑚 )︁2 𝑚𝑣2 𝑚𝑣2 (︁ 𝑚 )︁
= 𝑣 + = 1 + .
2 2 𝑀 2 2 𝑀
𝑚
Сокращая на , получаем
2
(︁ 𝑚 )︁ 𝑀
𝑔𝑎 = 𝑣2 1 + ⇒ 𝑣2 = 𝑔𝑎 .
𝑀 𝑀 + 𝑚
Тогда скорость кубика:
√︂ √
𝑚 𝑚 𝑀 𝑚 𝑔𝑎
𝑉 = 𝑣 = 𝑔𝑎 = .
√︀
𝑀 𝑀 𝑀 + 𝑚 𝑀(𝑀 + 𝑚)
𝑚
Обозначая 𝑘 = , имеем
𝑀
𝑘 √
𝑉 = √ 𝑔𝑎
1 + 𝑘
Подставляя данные из условия, получаем:
1,25
𝑉 = √ · 0,9 = 0,75 м/с
1 + 1,25
Ответ: 0,75 м/с
Используемые формулы
∆𝑈 = 𝑚𝑔 𝑎 − = .𝑚𝑣 − 𝑀𝑉 = 0 ⇒ 𝑉 = 𝑣.= + .Подставим 𝑉 = 𝑣:= 𝑣 + = 1 + .𝑔𝑎 = 𝑣2 1 + ⇒ 𝑣2 = 𝑔𝑎 .
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Пропустить часть условия.
- Сделать вывод без проверки промежуточного шага.
- Записать только ответ без объяснения.