Задание №150233: Задание 8

8 кпк скорость равна 180 км/с.
A. Определите полную массу галактики.
B. Представим, что с расстояния R на центр галактики с нулевой начальной скоростью
радиально падает частица. Чему будет равна ее скорость, когда она достигнет центра
галактики? Вычислите эту скорость для случая R = 10c.
C. Пусть звезда движется по близкой к круговой орбите радиуса r = 8 кпк;
0
δr(t), δθ(t) — отклонения в плоскости орбиты по радиусу и по азимуту. Оцените
период колебаний звезды вдоль радиуса галактики.
D. Определите, при каких значениях r круговая орбита звезды радиуса r является
0 0
устойчивой.
Решение.
A. Определим зависимость круговой скорости от расстояния до центра галактики.
Для этого на круговой орбите приравняем гравитационное ускорение
и центростремительное и учитывая, что сила связана с производной потенциала
по расстоянию:
GM V 2
= .
(r + c)2 r
Орбита плоская, расстояние от центра галактики равно галактоосевому расстоянию:
мы просто можем рассматривать плоскость орбиты как плоскость симметрии
потенциала.
Получаем выражение для массы:

V 2(r + c)2 (1.8 · 105 м/с)2(9 · 3.1 · 1019 м)2
M = = = 1.5 · 1041 кг = 7.6 · 1010M .
Gr 6.67 · 10−11 м3/с2/кг · 8 · 3.1 · 1019 м ⊙
B. Рассмотрим прямолинейное падение с нулевой начальной скоростью с r(0) = R,
r(t) → 0. Энергия в расчете на единицу массы составляет
r˙2 GM
E = + U(r) = U(R) = − .