Задание №165365: Задание 8

Задача 8
Метод расширяющихся оболочек — это метод определения расстояний до сверхновых второго
типа. Метод основан на предположении, что разлетающаяся оболочка сверхновой излучает

как чёрное тело, начиная примерно с 5–10-го дня после взрыва. Последующие исследования
показали, что излучение оболочки близко к чернотельному и отличается на безразмерный
коэффициент дилюции 𝜉2, который равен отношению принимаемого потока излучения от
объекта 𝐹 к потоку от абсолютно чёрного тела с такими же температурой и радиусом:

𝐹
𝜉2 = .
𝐹
𝑏𝑏
В таблицах вам предоставлены данные фотометрии сверхновой в фильтрах V и B и скорости
разлёта оболочки после вспышки, а также зависимость болометрической поправки 𝐵𝐶 в по-
лосе V от температуры. Время указано от момента максимума блеска. На графике показана
зависимость коэффициента 𝜉 от температуры, выраженной в тысячах кельвин.

Видимая Видимая
Время, Скорость, зв. вел. в зв. вел. в
дни км/с фильтре фильтре
V B

7.9 10276 13.81 13.80
8.9 9721 13.79 13.80
9.9 8981 13.79 13.82
10.9 8410 13.79 13.84
11.9 8314 13.81 13.88
12.9 8026 13.84 13.92
13.8 8080 13.84 13.95
14.4 7642 13.86 13.98
15.4 7221 13.85 14.01
16.1 7215 13.84 14.04

26.4 5611 13.86 14.47
29.4 5110 13.88 14.58
31.4 4902 13.90 14.65
35.4 4623 13.94 14.79
39.4 4310 13.93 14.87
42.6 3809 13.92 14.93
45.4 3785 13.93 14.97 𝑇, К 𝐵𝐶 𝑇, К 𝐵𝐶 𝑇, К 𝐵𝐶
49.4 3836 13.91 15.00 3500 −2.30 7000 0.03 10500 −0.36
42.4 3747 13.93 15.05 4000 −1.12 8000 0.02 11000 −0.47

54.3 3500 13.94 15.08 4500 −0.60 8500 0.00 11500 −0.58
81.4 2714 14.04 15.40 5000 −0.29 9000 −0.06 12000 −0.68
70.3 2430 14.26 15.72 5500 −0.14 9500 −0.15 13000 −0.89
101.3 2504 14.28 15.74 6000 −0.04 10000 −0.25 14000 −1.07

Страница 19 из 24

LXXX Московская астрономическая олимпиада (2026 г.) 11 класс

Теоретический тур Решения и критерии

Для оценки температуры абсолютного чёрного тела воспользуйтесь зависимостью1
(︂ )︂
1 1
𝑇 = 4600 + .
0.92(𝐵 − 𝑉 ) + 1.7 0.92(𝐵 − 𝑉 ) + 0.62
Определите расстояние до сверхновой, считая, что она видна высоко над плоскостью Млечного
Пути.

Подсказка. В первые десятки дней оболочка расширяется практически в пустоте, не взаимодей-
ствуя с межзвёздной средой, так как она была выметена излучением звезды — прародительницы
сверхновой.

Решение. Светимость абсолютно чёрного тела можно определить с помощью формулы

𝐿 = 4𝜋𝑅2𝜎𝑇4,
𝑏𝑏

где 𝑅 — радиус тела, 𝑇 — его температура, а 𝜎 — постоянная Стефана — Больцмана. В условии
сказано, что светимость оболочки отличается от этой величины на коэффициент 𝜉2:

𝐿 = 𝜉2𝐿 = 𝜉24𝜋𝑅2𝜎𝑇4.
𝑏𝑏
Для вычисления 𝐿 нам необходимо определить три величины: 𝜉, 𝑅 и 𝑇.

Нам известно, что оболочка расширяется в вакууме, то есть разлетающееся вещество не
тормозится. При этом из таблицы видно, что скорость оболочки непрерывно уменьшается.
Происходит это потому, что оболочка — это не тонкая сферическая поверхность; она заполнена
веществом. Каждый нижележащий слой разлетающейся оболочки летит с меньшей скоростью,

чем верхний. Сначала мы видим самый верхний слой оболочки, выполняющий роль фотосферы.
Со временем он высвечивает энергию, остывает и становится оптически прозрачным. Тогда
наблюдениям становится доступен более низкий, а следовательно, более медленный слой, ко-
торый принимает на себя функции фотосферы. Таким образом, для каждого момента времени

в таблице указана скорость расширения того слоя, излучение которого принимается.
Поскольку в условии задачи временной ряд данных представлен от момента взрыва, то радиус
оболочки можно определить по данным из таблицы.

𝑅 = 𝑣 · 𝑡 ,
𝑖 𝑖 𝑖
где 𝑣 — скорость слоя оболочки, 𝑡 — время от момента взрыва.
𝑖 𝑖
Примечание. В общем случае, учёные решают согласованную задачу, определяя одновременно
расстояния до объекта и момент начала разлёта оболочки, поскольку момент начала вспышки
обычно неизвестен.
Возможная ошибка, которую может совершить участник. Возможно представить модель,

что скорость расширения оболочки замедляется, поэтому стоит рассчитывать расстояние по
формуле
𝑅 = 𝑅 + 𝑣 Δ𝑡 .
𝑖 𝑖−1 𝑖 𝑖
Как показано выше, такая модель неверна и приведёт к неверному результату.

1F. J. Ballesteros

Страница 20 из 24

LXXX Московская астрономическая олимпиада (2026 г.) 11 класс

Теоретический тур Решения и критерии

Температуру излучающего слоя в каждый момент времени 𝑇 , излучение которого мы видим,
𝑖
можно определить по заданной в условии зависимости, вычислив предварительно показатель
цвета (𝐵 − 𝑉 ) .
𝑖
Зная температуру, можем определить фактор дилюции, а точнее, поправочный коэффициент
расстояния 𝜉. Для этого воспользуемся данным графиком зависимости 𝜉(𝑇). Запишем в таблицу
результаты проведённых измерений.
𝑇, К 𝜉
10000 0.54
9000 0.59

8000 0.66
7000 0.78
6000 0.96
5500 1.08
5300 1.16
5000 1.26
4750 1.37

Стоит отметить, что при уменьшении температуры ниже 6000К 𝜉 начинает быстро расти, что
уменьшает точность определения этой величины, а для температур ниже 4750К — выходит за

границы графика.
Примечание. Астрофизическое обоснование этого роста следующее. Если рассматривать обо-
лочку по массовой координате, а не по радиальной, то фотосфера движется внутрь сброшенной

оболочки к центру, а снаружи (между фотосферой и наблюдателем) становится всё больше и
больше холодного вещества, богатого металлами. Оно прозрачно для непрерывного излучения,
но в линиях поглощения металлов уже непрозрачно. Поэтому излучение перераспределяется по
спектру в красную область и постепенно перестаёт быть похожим на чернотельное. Формально
фактор дилюции это учитывает, но одного этого параметра для корректных вычислений для

низких температур становится мало.
Занесём вычисленные 𝜉, 𝑅 и 𝑇 в таблицу для каждого момента времени, а также вычислим
светимость 𝐿 , выразив её в светимостях Солнца 𝐿 .
𝑖 ⊙
Следующий шаг — это определение абсолютной звёздной величины:

𝐿
𝑖
𝑀 = 𝑀 − 2.5lg .
𝑖 ⊙
𝐿
⊙
Здесь мы воспользовались абсолютной звёздной величиной Солнца, которая приведена в спра-
вочных данных: 𝑀 = 4.72𝑚. Зная видимую (𝑉 ) и абсолютную звёздные величины, можно
⊙
определить расстояние до сверхновой для каждого момента времени. Но сначала обратим
внимание, что нам известны болометрические абсолютные звёздные величины, а видимые
только в фильтрах V и B. Для перевода звёздных величин в полосе V нужно воспользоваться
болометрической поправкой. Если для температур 6000–9000 К эта поправка невелика и
её неучёт не приведёт к заметной ошибке, то за пределами этого диапазона ошибка будет
достаточно заметна. Отдельно стоит отметить, что в условии даны поправки к фильтру V.

Страница 21 из 24

LXXX Московская астрономическая олимпиада (2026 г.) 11 класс

Теоретический тур Решения и критерии

Использование звёздной величины в фильтре B для определения расстояния неправильно.

𝑀 − 𝑉 − 𝐵𝐶 = 5 − 5lg 𝑟 ⇒ 𝑟 = 100.2(𝑉𝑖+𝐵𝐶𝑖+5−𝑀𝑖).
𝑖 𝑖 𝑖 𝑖 𝑖

Результаты всех вычислений сведём в таблицу. Радиус оболочки будем вычислять в радиусах
Солнца 𝑅 , а светимость — в светимостях Солнца. Мы не включаем строки, для которых
⊙
невозможно определить из графика поправочный коэффициент расстояния (𝑇 < 4750К).
Дни 𝑣, км/с 𝑉 𝐵 𝐵 − 𝑉 𝑇, K 𝜉 𝑅,𝑅 𝐿,𝐿 𝑀 𝐵𝐶 𝑟, Мпк
⊙ ⊙
7.9 10276 13.81 13.80 −0.01 10252 0.53 10470 3.0 · 108 −16.49 −0.31 10.0
8.9 9721 13.79 13.80 0.01 10002 0.54 10740 3.0 · 108 −16.47 −0.25 10.0
9.9 8981 13.79 13.82 0.03 9766 0.55 11037 3.0 · 108 −16.47 −0.20 10.3
10.9 8410 13.79 13.84 0.05 9542 0.56 11380 3.0 · 108 −16.47 −0.16 10.5
11.9 8314 13.81 13.88 0.07 9328 0.57 12282 3.3 · 108 −16.58 −0.12 11.3
12.9 8026 13.84 13.92 0.08 9226 0.58 12853 3.5 · 108 −16.65 −0.10 11.9
13.8 8080 13.84 13.95 0.11 8932 0.59 13842 3.8 · 108 −16.72 −0.05 12.7
14.4 7642 13.86 13.98 0.12 8839 0.60 13661 3.6 · 108 −16.68 −0.04 12.6
15.4 7221 13.85 14.01 0.16 8486 0.62 13805 3.4 · 108 −16.61 0.00 12.4
16.1 7215 13.84 14.04 0.20 8163 0.65 14420 3.4 · 108 −16.62 0.01 12.4
26.4 5611 13.86 14.47 0.61 5929 0.97 18389 3.5 · 108 −16.64 −0.05 12.3
29.4 5110 13.88 14.58 0.70 5602 1.06 18650 3.4 · 108 −16.60 −0.12 11.8

31.4 4902 13.90 14.65 0.75 5436 1.11 19108 3.4 · 108 −16.62 −0.16 11.8
35.4 4623 13.94 14.79 0.85 5134 1.21 20316 3.7 · 108 −16.70 −0.25 12.0
39.4 4310 13.93 14.87 0.94 4892 1.30 21080 3.8 · 108 −16.74 −0.36 11.5
42.6 3809 13.92 14.93 1.01 4719 1.38 20143 3.4 · 108 −16.61 −0.46 10.3

Полученные значения расстояния несколько отличаются для разных измерений. Это ожидаемо,

поскольку исходные экспериментальные данные содержали погрешности. Поэтому итоговым
значением будет среднее значение расстояния

𝑁
1 ∑︁
𝑟¯ = 𝑟 = 11.5Мпк.
𝑖
𝑁