Задание №165218: Задание 3
3 Задача 4 «Обмен двух благ» Есть два ученика: Аня и Боря. Есть два блага: конфеты и печенье. Всего у ребят 10 конфет и 10 печений. Изначально у Ани 8 конфет и 2 печенья, а у Бори — 2 конфеты и 8 печений. Конфеты и печенья могут быть выражены только целым числом. Предпочтения учеников задаются функциями полезности (их выигрыша): 𝑈 (𝑐,𝑏) = 2𝑐 + 𝑏 𝑈 (𝑐,𝑏) = 𝑐 + 2𝑏 𝐴 𝐵 где 𝒄 — количество конфет, а 𝒃 — количество печений у соответствующего ученика. Индекс 𝑨 отвечает за полезность Ани, а индекс 𝑩 — за полезность Бори. А) (5 баллов) Найдите полезности (выигрыши) Ани и Бори в исходном распределении. Б) (15 баллов) Ученики могут добровольно обмениваться конфетами и печеньем. Рассмотрим обмен, при котором Аня отдаёт Боре 𝑥 печенья и получает от него 𝑦 конфет, где 𝑥 > 0 и 𝑦 > 0 — целые числа. Назовём обмен взаимовыгодным, если в результате обмена полезность каждого ученика не уменьшается по сравнению с исходным распределением. Найдите все пары целых (𝑥, 𝑦), при которых обмен является взаимовыгодным и возможным. В) (15 баллов) Назовём распределение устойчивым, если не существует ни одной пары целых (𝑥,𝑦), при которой возможен взаимовыгодный обмен. Найдите все устойчивые распределения или докажите, что их нет. Г) (5 баллов) Возможно ли перераспределение конфет и печений между Аней и Борей в сравнении с устойчивым распределением так, чтобы улучшить положение одного ученика, не ухудшив положение другого? 4
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Задание 3» и рассчитано на уровень 8 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- пошаговое рассуждение
- проверка результата
Источник: Московская олимпиада школьников — официальный архив
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Московская олимпиада школьников — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Задание 3» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Экономика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
3 балла за правильный ответ (ставится только при корректном решении на всех этапах этого
пункта)
В) Посчитаем ожидаемую прибыль от размещения сада в каждой из стран:
(1) Плата 600 существует в любом случае
Оптимальная Полшины нет Пошлина на Пошлина на Ожидаемая прибыль
прибыль фирмы импорт из С любой импорт
Сад в стране А 1200 1200 1200 1200
Сад в стране В 1800 1800 936 1800/12+1800*5/6+936/12=1728
Сад в стране С 2400 1536 1536 2400/12+1536*5/6+1536/12=1608
Ответ: сад будет расположен в стране В, объём равен 32 или 40
(2) Плату 600 надо платить только в том случае, если какая-либо пошлина была введена
Оптимальная Полшины нет Пошлина на Пошлина на Ожидаемая прибыль
прибыль фирмы импорт из С любой импорт
Сад в стране А 1800 1200 1200 1250
Сад в стране В 2400 1800 936 2400/12+1800*5/6+936/12=1778
Сад в стране С 2400 1536 1536 2400/12+1536*5/6+1536/12=1608
Ответ: сад будет расположен в стране В, объём равен 32 или 40
(3) Плата 600 не выплачивается никогда
Оптимальная Полшины Пошлина на Пошлина на Ожидаемая прибыль
прибыль фирмы нет импорт из С любой
импорт
Сад в стране А 1800 1800 1800 1800
Сад в стране В 2400 2400 1536 2400/12+2400*5/6+1536/12=1928
Сад в стране С 2400 1536 1536 2400/12+1536*5/6+1536/12=1608
Ответ: сад будет расположен в стране В, объём равен 32 или 40
По 3 балла ставилось за расчёт ожидаемой прибыль для каждой страны
Используемые формулы
Сад в стране В 1800 1800 936 1800/12+1800*5/6+936/12=1728Сад в стране С 2400 1536 1536 2400/12+1536*5/6+1536/12=1608Сад в стране В 2400 1800 936 2400/12+1800*5/6+936/12=1778Сад в стране В 2400 2400 1536 2400/12+2400*5/6+1536/12=1928Сад в стране С 2400 1536 1536 2400/12+1536*5/6+1536/12=1608
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Пропустить часть условия.
- Сделать вывод без проверки промежуточного шага.
- Записать только ответ без объяснения.