Задание №149652: Задание 9.1
9.1. Сначала на тарелке лежат 75 конфет. Петя и Вася по очереди берут из тарелки любое натуральное количество конфет до тех пор, пока конфет на тарелке не останется. Начинает Петя. При каком наименьшем k Петя может играть так, чтобы гарантировать, что в конце игры количества конфет у мальчиков отличаются не более чем на k? (Во время игры мальчики конфеты не едят.)
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Задание 9.1». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: ВсОШ — официальный архив
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- ВсОШ — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Задание 9.1» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
9.1. Сначала на тарелке лежат 75 конфет. Петя и Вася по очереди берут из тарелки любое
натуральное количество конфет до тех пор, пока конфет на тарелке не останется. Начинает
Петя. При каком наименьшем k Петя может играть так, чтобы гарантировать, что в конце
игры количества конфет у мальчиков отличаются не более чем на k? (Во время игры
мальчики конфеты не едят.)
Ответ: 25.
Решение. Стратегия Пети. Покажем, как действовать Пете, чтобы в итоге количества
конфет отличались не больше, чем на 25, как бы ни ходил Вася. Пусть на первом ходе
Петя возьмёт 25 конфет, а затем на каждом ходе будет брать по одной конфете. Если
после первого хода он возьмёт ещё x конфет, то он (а значит, и Вася) сделает ещё x
ходов. Поэтому количество y конфет у Васи будет не меньше, чем x, при этом x + y = 50.
Количества конфет у мальчиков будут отличаться на |25 + x − y|; при этом 0 ⩽ y − x ⩽
⩽ y + x = 50, то есть −25 ⩽ 25 + x − y ⩽ 25, или |25 + x − y| ⩽ 25, что и требовалось.
Стратегия Васи. Покажем, как действовать Васе, чтобы количества конфет у маль-
чиков отличались не меньше, чем на 25, как бы ни ходил Петя. Пусть Петя первым ходом
взял x конфет. Если x ⩽ 25, то Васе достаточно сразу же забрать все оставшиеся конфе-
ты — количества будут различаться на (75−x)−x = 75−2x ⩾ 25. Если же x > 25, Вася бу-
дет брать каждым своим ходом по одной конфете. Тогда, если у Васи окажется y конфет,
то Петя сделает (после первого) ещё хотя бы y − 1 ход, то есть у него окажется не менее
x+(y−1) конфет. Значит, разность их количеств будет не меньше (x+y−1)−y = x−1 ⩾ 25,
что и требовалось.
Ответ: Сначала на тарелке лежат 75 конфет. Петя и Вася по очереди берут из тарелки любое
Используемые формулы
Поэтому количество y конфет у Васи будет не меньше, чем x, при этом x + y = 50.⩽ y + x = 50, то есть −25 ⩽ 25 + x − y ⩽ 25, или |25 + x − y| ⩽ 25, что и требовалось.ты — количества будут различаться на (75−x)−x = 75−2x ⩾ 25.Значит, разность их количеств будет не меньше (x+y−1)−y = x−1 ⩾ 25,
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.