Задание №180618: Устная олимпиада 2025
3. Футболки. По кругу, повернувшись лицом к его центру, стоят 15 человек в футболках трёх цветов: пятеро – в белых, пятеро – в серых и пятеро – в чёрных. Каждый из них сказал: «Моя футболка темнее футболки моего соседа справа». Оказалось, что все, кроме Вани, солгали. Сколько человек солгали бы, если бы вместо этого каждый сказал: «Моя футболка светлее футболки моего соседа справа»? Все футболки одного цвета друг от друга не отличаются. XXII устная городская математическая олимпиада для 6-7 классов 06.04.2025 7 класс I тур
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Устная олимпиада 2025» и рассчитано на уровень 7 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Устные математические олимпиады МЦНМО — официальный архив · 2025
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Устные математические олимпиады МЦНМО — официальный архив
- Организатор
- МЦНМО
- Год материала
- 2025
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Устная олимпиада 2025» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
3. Футболки. По кругу, повернувшись лицом к его центру, стоят 15 человек в футболках
трёх цветов: пятеро – в белых, пятеро – в серых и пятеро – в чёрных. Каждый из них
сказал: «Моя футболка темнее футболки моего соседа справа». Оказалось, что все,
кроме Вани, солгали. Сколько человек солгали бы, если бы вместо этого каждый сказал:
«Моя футболка светлее футболки моего соседа справа»?
Все футболки одного цвета друг от друга не отличаются.
Т. Казицына
Ответ: 13.
Решение. Докажем, что люди стояли так, как показано
на рис. 2. Заметим, что человек в чёрной футболке, справа
от которого стоит человек в серой или белой футболках,
говорит правду. Такой человек только один, значит каждый
из четырёх остальных стоит слева от того, кто также в
чёрной футболке. Иными словами, все 5 человек в чёрных
футболках стоят подряд. Аналогично, любой человек в
серой футболке может стоять только слева от человека в
черной или серой футболках. Значит, и все 5 человек в
серых футболках стоят подряд слева от людей в чёрных
футболках. Тогда и оставшиеся 5 человек в белых футболках также стоят
Рис. 2
подряд.
Следовательно, утверждение «Моя футболка светлее футболки моего соседа
справа» будет правдой ровно для двух человек, отмеченных на рисунке стрелками, а
остальные 13 солгут.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.