Задание №180617: Устная олимпиада 2025

2. Пересечение биссектрис. Может ли точка пересечения биссектрис треугольника
делить пополам одну из них?
А. Блинков
Ответ: нет.
Решение. Пусть I – точка пересечения
биссектрис треугольника АВС, которая является Рис. 1а
серединой биссектрисы AL. Можно рассуждать по-
разному.
Первый способ. Проведем отрезки BI и CI (см.
рис. 1а). Они являются медианами и
биссектрисами треугольников ABI и ACI
соответственно. Следовательно, AB = BL и АС =
CL, откуда АВ + АС = BL + CL = ВС, что противоречит неравенству треугольника.
Завершить это рассуждение можно иначе. Сумма углов ALB и ALC равна 180°, а
это углы при основании в равнобедренных треугольниках, но такие углы должны
быть острыми. Противоречие.
Второй способ. Проведем перпендикуляры IK и

IM к сторонам ВС и АВ соответственно (см. рис. 1б). Рис. 1б
Так как I – центр окружности, вписанной в треугольник
АВС, то они являются радиусами этой окружности.
Тогда прямоугольные треугольники KIL и МIА равны
(по катету и гипотенузе), откуда ∠KLI = ∠MAI. Но это
накрест лежащие углы для прямых ВС и ВА и секущей
LA, поэтому прямые ВС и ВА параллельны, что невозможно.
Отметим, что если K лежит между B и L, то аналогичное рассуждение приведёт
к параллельности прямых ВС и СА.


1