Задание №177493: Турнир Ломоносова 2008

7. По недосмотру жюри и историческим причинам в условии задачи
были приведены неверные числовые значения справочных данных. Для
решения данной качественной задачи точные значения не числовые
важны. Они, например могли быть такими: при температуре 20 ◦C
водный раствор уксусной кислоты имеет плотность 1,065 г/мл при кон
центрациях 61,4% и 91,2%, плотность чистой уксусной кислоты при этой
температуре 1,0497 г/мл. Соответственно, следует различить растворы
кислоты с концентрациями 61,4% и 91,2%.
Зависимость плотности раствора от концентрации часто может быть
очень сложной. В случае уксусной кислоты при повышении концентра
ции раствора плотность растёт и достигает максимума в области 77%,
при этом молекулы воды и кислоты образуют при помощи водород
ных связей сложные пространственные структуры6. При дальнейшем
увеличении концентрации кислоты и уменьшении содержания воды в
растворе образуются всё менее и менее компактные структуры, что при
водит к снижению плотности кислоты.
Пользуясь данными в условии значениями плотности для двух кон
центраций раствора и для чистой кислоты, а также вспоминая, что
плотность чистой воды равна 1 г/мл (точнее, 0,9982 г/мл при 20 ◦C),
можно построить приближённую зависимость плотности от концентра
ции как раз такого типа. (Мы же вместо приближённого графика для
справки приведём точный.)
Используя график, можно предложить метод, как различить рас
творы уксусной кислоты разной концентрации, имеющие одинаковую
плотность: если прилить к этим растворам небольшое количество воды,
то в одном случае плотность будет расти, а в другом — уменьшаться.
Например, в каждый раствор можно добавить воды в количестве 0,1
массы раствора. Тогда мы получим концентрации, соответственно,
61,4%/1,1 ≈ 55,81% и 91,2%/1,1 ≈ 82,90%. При этом разница плотно
стей растворов уже будет заметной, но мы ещё не «перескочим» через
максимум, разбавляя раствор с бо´льшей концентрацией.
6Обратите внимание, что при равном количестве молекул воды и кислоты в рас
творе концентрация раствора равна как раз
M(CH3COOH)/(M(CH3COOH)+M(H2O)) = 60/(60+18) ≈ 0,769 ≈ 77%.

65

1,08


1,06


1,04

1,02


1,00

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
концентрация водного раствора
уксусной кислоты, % (по массе)
лм/г
,C◦
02
ирп
аровтсар
ьтсонтолп
В принципе, задачу можно решить и более строго («математиче
ски»), не доверяя интуитивным предположениям о достаточно простой
форме графика с одним максимумом. (А вдруг эта зависимость суще
ственно более сложная?) Например, можно постепенно разбавлять оба
раствора водой и определить зависимость плотности от концентрации,
предполагая при расчёте концентраций разбавленных растворов оба
возможных варианта соответствия растворов и их начальных концен
траций. При выборе верного варианта (из двух возможных) эти зависи
мости при концентрациях менее 61,4%, очевидно, должны совпасть.