Задание №176124: Задание 2
2. Многочлены 𝑃(𝑥) и 𝑄(𝑥) имеют целые коэффициенты и суммы этих коэффициентов у них одинаковые. Доказать, что число 𝑃(526) − 𝑄(526) имеет не менее двенадцати различных делителей, включая единицу и само число.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Задание 2» и рассчитано на уровень 10 класса. Для решения понадобятся:
- построение модели
- применение физических законов
- проверка единиц измерения
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада «Росатом» НИЯУ МИФИ — официальный архив
- Организатор
- НИЯУ МИФИ
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Задание 2» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Физика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Как и в варианте 1, доказывается, что 𝑃(𝑎) − 𝑄(𝑎) делится на 𝑎 − 1. Возьмем
𝑎 = 526, получим, что 𝑃(526) − 𝑄(526) делится на 525. Каждый натуральный делитель
числа 525 = 3 ⋅ 52 ⋅ 7 имеет вид 𝑏 = 3𝑖 ⋅ 5𝑗 ⋅ 7𝑘, где 𝑖, 𝑘 ∈ {0,1}, 𝑗 ∈ {0,1,2}. Количество
𝑖𝑗
различных натуральных делителей числа 3 ⋅ 52 ⋅ 7 равно числу способов выбрать
упорядоченную тройку чисел (𝑖, 𝑗,𝑘), это количество равно 2 ⋅ 3 ⋅ 2 = 12. Каждый делитель
числа 2023 является делителем целой величины 𝑃(𝑎) − 𝑄(𝑎), следовательно, 𝑃(𝑎) − 𝑄(𝑎)
имеет не менее 12 различных натуральных делителей.
Используемые формулы
𝑎 = 526, получим, что 𝑃(526) − 𝑄(526) делится на 525.числа 525 = 3 ⋅ 52 ⋅ 7 имеет вид 𝑏 = 3𝑖 ⋅ 5𝑗 ⋅ 7𝑘, где 𝑖, 𝑘 ∈ {0,1}, 𝑗 ∈ {0,1,2}.упорядоченную тройку чисел (𝑖, 𝑗,𝑘), это количество равно 2 ⋅ 3 ⋅ 2 = 12.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Пропустить часть условия.
- Сделать вывод без проверки промежуточного шага.
- Записать только ответ без объяснения.